Оглавление:
Теорема Кастильяно. теорема Лагранжа
- Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа Заставить упругую систему статически нагружать любую нагрузку Q и некоторую обобщенную силу P (рис. 388). Рассчитайте потенциальную энергию, накопленную при деформации системы. Для этого, для удобства, мы принимаем порядок загрузки следующим образом. Переместите точку действия силы в ее направлении, указывая Арр от ее действия. В результате дополнительной деполяризации сила P получает смещение ApQ. Полное (обобщенное) смещение точки приложения силыQ Ar=Arr -| — & PQ-(13,75), P R\H Очевидно, что накопленная потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил: C/=4/ ’ Arr+DDR.?
+Uqq,(13.76). 1gptl —— Триста восемьдесят восемь Здесь Uqq — энергия, накопленная в результате деформации системы силой Q, а в численном выражении-сила Q относительно вызванного ими смещения. Второй член формулы (13.76) не содержит 1/2. Поскольку Arr=Rbrr, выражение (13.76) можно записать в виде I=4-P^PP+P + PQ+im — (13.77) различает формулу (13.77) по силе P, принимая во внимание равенство (13.75): 4^—PPR+=&PP+&pq=Ar.
И так оно и есть., (13.78) 389 смещение точки приложения в направлении действия обобщенной силы равно частичному дифференциалу Людмила Фирмаль
потенциальной энергии деформации этой силы (теорема Кастильяно). Согласно формуле (13.77), квадратичная производная потенциальной энергии от обобщенной силы Вт Дейл Я «Д» — < Ж(13.79) И это имеет практически положительное значение. Для плоской стержневой системы, основанной на общей схеме(13.67), потенциальная энергия натяжения записывается как +(13.80) $С Здесь M (s), (V (s), Q (s) — силы в поперечном сечении стержня.
Принцип применения дифференциала по параметрам, его Но dU Ф М(S) ДС ДМ ©, ф п© ДС ДУ ©. Л Р ДП-ДП Джей Джей+Джей Эф ДП+ с с +(13.81) Или игнорировать влияние осевых и боковых сил на перемещение, Но. Ф М (S)ДС ДМ© б п===} — £Дж- — — — — — — — — — д’Арно (3-8-2) с Для определения линейных или угловых перемещений при отсутствии проблемных условных сил необходимо в этот момент применить соответствующие гипотетические обобщенные силы. Затем, при написании выражения потенциальной энергии из системы сил, включающей указанную фиктивную силу, необходимо извлечь
- из этой фиктивной силы ее производную и, как следствие, получить результат. Пример 61. По методу Кастильяно, для определения угла поворота свободного конца консоли нагружают 4 нагрузки (RNS) равномерно распределенными. 389, а). В указанном сечении балки в качестве фиктивной нагрузки применяют момент м°(рис. 389, б). Согласно формуле (13.78), угол поворота сечения а), Л ДП Ф М (Х)DX ДМ (х)^а — ^м р—Джей Джей Эм*’ Я 390eem Ч-МЮ Л4 (Х)= — Ц * ало- Два. Один. л= Сі<7*2 Джей Джей Л2 Ноль. Принимая ~0, мы получаем л= Qп АГ г ДМ » ~~4p1dx. Общая формула для расчета смещения стержневой системы (13.45) является общим методом определения смещения в нештанговой системе (пластины, оболочки и детали, все три измерения расположены в одном порядке), однако последняя
заимствует метод Кастильяно из расчетной практики, поскольку нет необходимости писать уравнение потенциальной энергии и его производную. Выражение потенциальной энергии деформации в функции независимого перемещения Dy D2…. Е » может показать, что частичная производная потенциальной энергии для любого перемещения равна силе, действующей в направлении перемещения., дю. ФН я’(13.83) Эта теорема была установлена Лагранжем. Например 62. Симметричная шарнирно-стержневая система нагружается в узел b вертикальной силой P(рис. 390). Падение узла вызвано тем, что Dr определяет величину силы P, если она равна А / — наклон стержня по вертикали;// — длина стержня; F / F / — жесткость поперечного сечения стержня. Вертикально одинаково наклонные стержни имеют одинаковую жесткость.
Легко видеть, что удлинение / го стержня D / =Ar cos a/, И усилия в этом есть Людмила Фирмаль
Потенциальная энергия в системе >4 * С Д Л к п Рикс, триста девяносто. «_2^2-деформация cossaietfi SN-АФК. ФЗ Два./, Если мы дифференцируем себя в терминах Ar、: н dU_A в COS * oUU7
Смотрите также:
