Оглавление:
Теорема Кастильяно
- Теорема Кастильяно. Мы устанавливаем метод определения смещения, основанный на расчете потенциальной энергии деформации. Поставим перед собой задачу нахождения смещения точки упругой системы в направлении действия внешних сил, приложенных к этой системе.406 применение концепции
потенциальной энергии[гл. XXI Мы решим эту проблему несколькими способами. 328), когда на балке в секции 7, 2, 3,… Только концентрация действия Plf P2, P3,… Под действием этих сил балка изгибается вдоль кривой I и остается в равновесии. Прогиб секции 7, 2, 3… p%, p^ — — — >показаны U1, _u2,•••и t-D-найти одно из этих отклонений, например, x-отклоненное P сечения, к которому приложена сила преобразования луча, что нарушает равновесие 328 пунктирной линией. Это может быть сделано различными способами. Мы воображаем.
То есть для перехода Силы Pi в соседнее деформированное состояние II Людмила Фирмаль
производится малая добавка dPx(рис. 328);чтобы не нарушить равновесия в этом переходе, предположим, что это? И, то есть, медленно и постепенно увеличиваться от нуля до конечного значения. При переходе из состояния балки 7 в состояние II все нагрузки Р уменьшаются, поэтому их потенциальная энергия уменьшается. Поскольку равновесие не нарушается, уменьшение энергии нагрузки
DUP полностью трансформируется в увеличение потенциальной энергии деформации луча DU. Величина DUp измеряется работой внешней силы при переходе балки из положения I в положение II.: П Два. Фигура. 328. Применяются присадки dU-dAp, (21.10)изменяет D (J потенциальную энергию искажения, это функция силы P b P2, P3…Из-за очень малых приращений одной из этих независимых
- переменных Pf дифференцирование таких сложных функций является: Д У Д П. (21.11) Что касается величины DAp, то эта задача заключается в разнице в работе нагрузки P в положениях II и I: dAp-A2-A} » Ai работают с одновременным и постепенным увеличением силы P、: A=y^ij ’i~2R’zu*4″ ~2§ 126] теорема Кастильяно 407 При расчете работы она окончательно делится и не зависит от заказа, И 2. учтите, что его величина полностью определяется формой деформируемой балки (§создаваемой нагрузкой. Если сначала нагрузить балки, то балки будут изгибаться очень слабо(рис. Изгибы точек 7, 2 и 3 будут dylf dy2, dy3. Нагрузка приложенная
к статической работе dPr равна dP x dyv, которое в свою очередь мы постепенно нагружаем нагрузкой P2, P3 в тоже время и нагружаем луч. К исходному колебанию dyit dy2, dy3 добавляется отклонение y lt y2, _u3 (рис. 329). Ри яма Р3 на этом этапе нагружения силой производит работу i r u g-J-u P3 Y3=A\также генерирует работу, которая уже была в балке нагрузки dPx\он провел в b и он 329 пунктир. Таким образом, выполняется вся работа, выполняемая внешней нагрузкой при переходе балки из недеформированного состояния в положение II (рис. Триста двадцать девять) =г dPxdyx-| — л-ж-д р\г* Сто двадцать пять.) 329, с указанием местонахождения груза ДПУ про- Посчитать сейчас Четыре. ар} П Два. РЗ М В — Фигура.
Триста двадцать девять, Один. Один. DAP=d P^yv (21.12) подставляя значения d ll (21.11) и dAp (21.12), полученные в Формуле (21.11), получаем: Людмила Фирмаль
д P1U1=т / д, Или (21.13) Таким образом, в рассматриваемом случае отклонение точки приложения концентрации P}равно частичной производной потенциальной энергии деформации для этой силы. Применение концепции потенциальной энергии 408[Глава II. XXI Результат можно обобщить. Пучок, помимо сосредоточенной силы Р, должен действовать в разных частях пары сил м(рис. 330). Учитывая, что луч передается из положения I в положение II, весь процесс вывода изменяется путем добавления пары ДМТ, которые могут повторить предыдущий вывод.. Вешают их без прогиба, т ех сечения, где эти пары прило-нет. это отличный способ начать работу.、- И угол поворота жены. Она будет представлена в виде мула (21.13): 6.2″ • • •
Р А В Н О в A01 Ди — Ну и что?(21.14) Поскольку Pi-это смещение, соответствующее силе P и силе TMJ, полученные результаты можно сформулировать следующим образом: производная потенциальной энергии деформации от одной из независимых внешних сил равна смещению, соответствующему этой силе. Это так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 году. Следует отметить, что наличие непрерывной нагрузки на балку не меняет предыдущих
выводов, так как считается, что непрерывная нагрузка состоит из большого количества сил концентрации. Предыдущий вывод был сделан о балке, но ясно, что деформация может быть повторена о структуре по закону крюка. Для изгиба мы получили формулу, которая связывает величину потенциальной энергии u с изгибающим моментом: M2 (x) dx2.— Изгибающий момент P2, * * * > −4 4.. . Q, Линейная функция, применяемая к балке: Нагрузка РР Д4 (х) — ^2^2-ф»• * * ч -. — f-это можно легко увидеть, взглянув на расчетную формулу изгибающего момента при построении участка (§ 72, 73). Вычислите частичную производную U от одной из внешних сил (например, Px). Мы получаем: [d G m2 (x) DXL arch-dPiLJ2EJ]*1§ 127]
применение теоремы Кастильяно 409 Здесь мы имеем дело с так называемым дифференциалом некоторых интегралов по параметрам, так как M (x) является функцией как Px, так и x. как известно, если предел Интеграла постоянен, то просто функция субплотности должна быть дифференцирована. Поэтому прогиб в точке приложения сосредоточенной силы RG равен: _ dU _ C M (x) DX DM (x) V1-dF~J EJ~d R G ’ I Пара M (x) D x DM(x)угол поворота сечения с EJ (W’) Напомним, что ограничительный знак, условно обозначающий, должен быть растянут на всю длину луча.
Смотрите также:
| Постановка вопроса | Примеры приложения теоремы Кастильяно |
| Вычисление потенциальной энергии | Приём введения добавочной силы |
