Оглавление:
Тензоры второго ранга
- В этом разделе представлен обзор принципов вычисления тензора. Читатели могут найти более подробную информацию о Тензорном анализе в уже цитированной книге[1]. Тензор. Манипуляция обнаруживается в теории транспортных явлений, особенно при описании процессов с переносом импульса. Определение и обозначения. Секция A. As уже упоминалось в 2, векторная величина b может быть полностью определена путем определения 3 проекций nx, y2 и rd в координатах. Ось. Аналогично тензоры 2-го ранга m характеризуются комбинацией 9 величин (m1X, m1a и др.) и преобразуются в соответствии с определенными законами, когда они передаются из 1 системы. Еще одна координата.
Для правила, которое преобразует количество тензоров при изменении осей, см. раздел A. подробнее об этом в разделе 6.Для удобства тензор 2-го ранга обычно является Она написана следующим образом: Эту форму записи не следует путать с определяющим форматом записи. Разница между этими двумя формами заключается в том, что в случае тензора правая сторона отношения(A. шестьдесят семь） Представляет собой набор упорядоченных чисел, но для детерминантов используется обозначение (A. 67) для указания конкретной суммы произведений этих чисел. Предмет Матрица с таким же индексом (A.
Однако он может рассматриваться как квазистационарный до тех пор, пока речь идет о пограничном слое на поверхности и коэффициенте теплообмена. Людмила Фирмаль
Называется диагональной. Другой метод, который может быть вычислен, когда оператор•(π * V) применяется к векторному полю, заключается в представлении вектора («V)в виде, то есть в виде следующего скалярного произведения: Диада. Элементы с разными индексами обычно называют недиагональными. Если выполняются условия m12 = m81″m18 = m31 и T2z = Tz2.Тензор называется симметричным.
Тензор м + Он образуется из тензора m путем перестановки индексов последних элементов друг к другу, и такой тензор называется транспозицией относительно тензора M. Очевидно, что если Тензор m симметричен, то выполняется условие m = m+. Тензор 2-го ранга типа 1 является так называемым бинарным произведением векторов V и u>.Элемент этого тензора b>, также известный как Диада, является произведением Соответствующие компоненты векторов O и U>, то есть Биномиальное произведение в общем случае не обладает свойством относительности, т. е. необходимо еще раз подчеркнуть, что диады описываются как 2 последовательно. Вектор положения, не связанный знаком умножения.
Единичный Тензор 6-это тензор со всеми диагональными элементами, равными 1, и всеми недиагональными элементами, равными нулю. Для записи элементов единичного тензора можно использовать строки и столбцы ячеек Дельта-коннектора тензора (A. 70) обратите внимание, что найдено 3 элемента Единичный вектор top Ox> 0 и Oz. В тензорном анализе широко используются так называемые единичные диады[1].Это диадетическое произведение всех видов единичных векторов1, o2 и Od. In генерал, одна Диада Вы можете записать его как 6t6l. m, n-1, 2, 3.Компонент такой диады является соответствующим произведением 2 символов дельты Кронекера, т.
Этот параметр также можно использовать для установки параметров по умолчанию. Весь Есть 9 одиночных Диад:’ Используя единичную Диаду, разложение вектора, как описано выше (A. 24), Тензор и диадетическое произведение могут быть формально разложены на компоненты. Необходимо лишь установить закон умножения на взаимные и единичные векторы единичной диады. Есть 4 отношения, которые играют ту же роль, что и Формула(A. 31)-(Aug.
- Тридцать два） В векторной алгебре： Все выражения, используемые в отношении тензорных и диадических произведений в этой книге, могут быть легко выведены из этих основных relationships. To запомните их, вы можете Используйте следующие мнемонические правила: в последних 3 формулах умножается ближайший единичный вектор по обе стороны знака (точки) произведения Скаляр; в первом соотношении строятся 2 скалярных произведения.1-внешний вектор. Добавлены тензорные и диадетические произведения. Согласно следующему правилу, суммируются 2 тензора АПТ 2-го ранга. Таким образом, сумма 2 тензоров является тензором с компонентом, равным сумме соответствующих компонентов члена этого тензора.
Это дополнительное правило также применяется к Диадамы. Умножение тензора и скаляра. Когда тензор умножается на скаляр, каждый компонент тензора умножается на определенный скаляр. То же самое относится и к диадетической работе. Скалярное произведение 2 тензоров. Тензоры могут быть умножены масштабно друг на друга в соответствии с правилами (соответствующий знак умножения находится в виде точки с запятой） Формула(А. 80) соотношение (А. 74).Аналогичным образом можно вывести еще 3 выражения.
Диапазон Ой и Рг в опытах недостаточен для того, чтобы определить, которое из двух предыдущих уравнений дает лучшее согласие с экспериментами. Людмила Фирмаль
Тензорного произведения тензоров 2. Существует операция тензорного умножения двух тензоров, обозначаемая 1 точкой и 2, которая представляет собой следующую последовательность. Преобразование： Поэтому результирующий Тензор (- m) » — компонент равен 1 грамм Также можно выполнять операции скалярного и тензорного умножения Страшный член работает. Вектор векторное произведение тензора. В результате умножения тензора 2-го ранга m на вектор o получаем вектор, в котором составляющие элементы формируются по следующим правилам: (А.
Восемьдесят пять） Ссылка Согласно этому правилу,* — й компонент векторного произведения т;; р /.Аналогично, поскольку первая составляющая векторного произведения r-t1_ подтверждается RGG, вектор тензора m вектором Тор V обладает свойством подвижности только в том случае, если Тензор m симметричен. Если мы умножим вектор V на скаляр$, вектор$будет направлен в том же направлении, что и исходный вектор V? Помните, что изменится только абсолютное значение вектора V.
Поскольку вектор o умножается на Тензор m и изменяется как абсолютное значение, так и направление вектора V, тензор «отклоняется» или «поворачивается», и вектор является новым Исходное веко-направление Тора не совпадает с направлением вектора с предыдущим результатом, вы можете легко проверить правильность следующего тождества. В D1_ / А В качестве примера физической системы, в которой Тензорные величины вызывают отклонения векторного поля, можно привести поток жидкости через пористую среду. Знаменитый Согласно закону Дарси, жидкость перемещает все места в изотропной среде в направлении, противоположном направлению давления gradient. In другими словами, устанавливается связь между ur-p.
Коэффициент B зависит от вязкости жидкости и проницаемости среды. Если среда анизотропна, то вектор-V / » и V больше не направлены в одном направлении, и необходимо заменить закон Дарси другой закон формы-ur= — [ ₽ • «>).Где P-Тензор 2-го ранга. Дифференциальные тензорные и диадные операции. Производный оператор «набла» может также действовать на тензоры и диады. Таким образом, k-я составляющая результирующего вектора = 2 1 Кроме того, оператор «nabla» может быть объединен с вектором и включен в 2-членное произведение yy. Тогда операцию умножения следует проводить по следующим правилам: Эти правила применяются к отношениям (А. 74)-(А. 76), основанным на легкости получения.
Последний позволяет угадать еще 3 идентификатора. Пример а-2 доказательство тождества тензоров. Докажите связь симметричного тензора m Решение. Во-первых, формула относительно компонент вектора y и тензора m(A. 98). Формула (A. 99) из правой части уравнения (A. 100) вычитаем правую side. As в результате вы можете легко подтвердить, что получили формулу для левой скалярной величины (m; V) Часть равенства (А. 98).
Смотрите также:
| Аналитические выражения для векторных операций | Интегральные теоремы для векторов и тензоров |
| Дифференциальные векторные операции | Компоненты векторов и тензоров в криволинейных координатах |
