Оглавление:
Тензор энергии-импульса
- Тензор энергии импульса. В предыдущем разделе была получена формула энергии ГИИ электромагнитное поле. Получите это выражение Уравнение импульсного поля в формате 4D. в Для простоты рассмотрим электричество Заряженное нить накала.
С учетом дальнейшего применения (Для гравитационного поля), не только упростить расчет, Чтобы сделать общий вывод без указания типа системы. Подумайте о какой-то системе. Форма стада S = J \ (q, ^ j d V d t = ~ c jk d S l, (32.1)
определяет состояние Системы координат и времени и их производные Людмила Фирмаль
Где A является функцией от q и ( Значение электромагнитного поля q является составляющей 4-потенциал), для простоты здесь описан только один кв. Интегрирование по пространству f A dV Существует системная лагранжева функция, так что A можно рассматривать Это называется «плотностью» функции Лагранжа.
математика Выражение закрытия системы отсутствует Функция Лагранжа Замкнутая механическая система явно не зависит от времени. «Уравнение движения» (т.е. уравнения поля, Будет взят по принципу)
- Действие путем изменения S. Чай q ^ = dqjdx1) ss = -JOq + tM ‘Ki = = 1 f \ ^ S q + ^ — (^ S q) -S q- c J dq 4 dx1 \ dq, i V s dft = 0 Kdq dq, я дА 1 дхг дк, я Второе слагаемое ниже интеграла, преобразованное по теореме Гаусс исчезает при интеграции во все пространство, и Далее найдите следующее уравнение движения. d7G1G- = 0 (32-2) x dq, i dq (Конечно, в общей сложности 2 или более раз везде Дубликат индекса г).
Дальнейшее заключение Механизм, который выводит закон сохранения энергии. Т.е. мы пишем Да, да, да, да, к дхг дк дхг дк, к дхг Подставьте здесь (32.2) и обратите внимание, что = q ^ dA _ d (dA \ <9L dq, i _ d (dA \ dhg dhk \ dq, k / ^ dq, k dhk dhk \ ^ dq, k) Заменить левую часть равенства Введение нотации Да _ Да Что? ~ * T k = q, i ^ -S kA, (32,3) ок, к 114
расходимости вектора эквивалентно следующему утверждению Людмила Фирмаль
Уравнение электромагнитного поля IV Запишите соотношение результатов к форме h = ° — (32-4) Q (l \, если количество больше единицы, вместо (32.3) Очевидно, вам нужно написать: 7? = E «i ‘) r w- {fA- <32-5) Я q> k § 29, уравнение вида dAk / dhk = 0, т.е. Исчезновение 4 : Из этого вектора относительно интеграла f AkdS &
Поверхность, включая все трехмерное пространство Ist. Очевидно, подобное утверждение верно, Для тензоров: уравнение (32.4) эквивалентно Сохраненный вектор Pi = const • J TikdSk. Этот вектор должен быть идентифицирован с 4 импульсами Система.
Постоянный коэффициент перед выбранным интегралом Временный компонент P ° в соответствии с первым Определение теперь равно энергии системы, деленной на s. для Мы замечаем это P ° = const • J TokdSk = const • J T ° o dV, Когда интегрирование выполняется на гиперплоскости х ° = = const С другой стороны, согласно (32.3) T ° o = q —- A дк (Где q = dq / dt).
Я связываю по обычной формуле Это количество энергии из-за функции Лагранжа должно быть принято во внимание В качестве плотности энергии f T00dV, следовательно, является полной энергией системы. Поэтому нам нужно установить const = 1 / s и, наконец, получить 4-формулу импульса системы. P i = l J TikdSk. (32,6) Тензор Tgk называется тензором энергии-импульса системы.
Определение тензора Не уникальный На самом деле, если Tk тензор, мы определяем Согласно (32.3) все остальные тензоры вида T k + Fsh = -Fik, (32,7) Удовлетворить уравнение сохранения (32.4), потому что они идентичны 2 Однако с точки зрения антисимметрии тензора-i— ^ qkk1, φkk1 = 0 S / X S / X Индекс k, I. Весь 4 импульс системы не меняется вообще.
Где происходит интеграция равноправия Вдоль поверхности (обычно), «покрытая» супер поверхность, Это интегрировано на левой стороне равенства. Эта поверхность явно находится на бесконечности в трехмерном пространстве, и на бесконечности нет поля или частицы, поэтому интеграл равен нулю.
Следовательно, четыре импульса системы — это сумма, которая должна быть, и это однозначно определенная сумма. О четком определении тензора Используйте требование 4 тензоров импульса (§14) Выражается 4 импульсами M ik = J (xH Pk-xkdP *) = ^ J (x * Th-xkT il) dSi, (32,8)
Другими словами, плотность выражается через плотность импульсов с обычной формулой. Легко узнать, какие условия должны быть выполнены Возьмите тензор энергии импульса. Закон сохранения импульса может быть выражен расхождением, равным нулю, как мы уже знаем. M gk integrand.
Вот так — ^ {x 1T s-xkT u) = 0. (32,9) Обратите внимание, что dxr / dx1 = 5 \ и dTk1 / dx1 = 0 ^ jirpkl _ ^ krpil _ rpki _ rpik _ q или T ik = T ki, (32.10) Другими словами, тензор энергии-импульса должен быть симметричным. Тензор Tk определяется уравнением (32.5) Вообще говоря, он не является симметричным, но его можно создать, заменив (32.7) на правильно выбранный fkk1.
На расстояние Отныне (§94) вы можете видеть, что есть способ получить симметричный тензор Tk напрямую. При интеграции как указано выше Для гиперплоскости x ° = const (32,6) Pr принимает следующий вид: Pi = l j T i0dV, (32.11) Интеграция осуществляется по всему пространству (3D).
Пространственная составляющая Pr формирует 3D Является ли вектор импульса системы, компонент времени Разделенный ее энергией. Следовательно, вектор с компонентами ^^ 20 ^^ 30 s s Количество, которое можно назвать плотностью импульсов W = T00 Это можно рассматривать как плотность энергии.
Чтобы прояснить значение остальных компонентов Tg, Уравнение сохранения (32.4), пространство и Временные производные: 19g «» + e t «(3212) дт дха и дт дх и Интегрировать эти уравнения в определенное пространство Состояние V с самого начала — [T00dV + [-dF = о, cd tj j dha Или преобразовать второй интеграл согласно (3D) теореме Ha USSA J T00dV = ~ T0adfa (32,13)
Где правильный интеграл получен на поверхности, покрывающей объем V (dfx, dfy, dfz — компоненты трехмерного вектора элементов Поверхность DF). Левая сторона равенства (32.13) — это скорость Изменение энергии находится в объеме V. Отныне уравнение справа — это количество энергии, протекающей через эту объемную границу, и вектор S с компонентой S cT ° \ cT02, cT03
Существует эта плотность потока — количество энергии, текущей За единицу времени через единицу поверхности. Следовательно, требование релятивистской инвариантности, заключенное в тензорном свойстве величины Тгк, приводит к важному выводу, что он автоматически приводит к определенной зависимости между потоком энергии и импульсом.
Плотность потока энергии, умноженная на плотность импульса в с2. Найти таким же образом из второй формулы (32.12) -f —L j Ta0dV = — <ЈT * pdfp. (32.14) г DT J CJ Слева — изменение импульса системы с объемом V на единицу. Время, поэтому j> Ta @ dfp есть импульс, Всего за единицу времени из этого тома. Так ком Тензор энергии импульса Ponents Ta @ равен 3D Тензор плотности импульса импульса; —sta (3, Аар — это так называемый тензор напряжений.
плотность Поток энергии — это вектор. Плотность импульсов, Сам является вектором и, очевидно, должен быть тензором (Компонент tar этого тензора является номером компонента ath Импульс за единицу времени через единицу @ Поверхность, перпендикулярная оси X. Я перепишу таблицу с разными значениями Компоненты тензора энергии импульса:
Смотрите также:
| Вторая пара уравнений Максвелла | Тензор энергии-импульса электромагнитного поля |
| Плотность и поток энергии в физике | Теорема вириала в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
