Оглавление:
Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
- Свойства интегрируемой функции и двойного интеграла. 1°. Если вы произвольно измените значение интегрируемой функции (P)/(x, y) вдоль любой кривой (A) с нулевой областью (единственное условие, что модифицированная функция остается связанной), то вы получите результат.）、 Для доказательства необходимо составить интегральную сумму измененной функции и исходной функции. Они
могут различаться только терминами, принадлежащими области (RD касается кривой (A)). Однако, согласно Лемме n ° 340, общая площадь этих областей стремится к нулю при X — >0. Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значения, принимаемого функцией парциальной плотности вдоль кривой нулевой области конечного числа.341)§I. определение и простейшее свойство 243 2°.
Если местность, где собирательная функция/(х,г),Кривой(а)нулевого области распадается на два Людмила Фирмаль
региона(РТ)и(R»)>, в области(Р)следует ее интегрируемость в субрегионах(РГ)и(Р»), так что область(РГ) и (Р») / (х, г)л=5г{х,у,г)р’+г/(х, у, г)В р ‘+ г / (х, у, г) р ‘+ АР». (П)(¶») (P) разбивается на (L), (RP), поскольку области (P’) и (P») произвольно разбиваются. Если / ‘(P’) содержит деталь и / ‘(P’) содержит деталь,、 2+2(0/ — П/ -. Если вы делаете функцию / (x,y)интегрируемой с (P)и X — >0, сумма слева стремится к нулю. И наоборот, когда имеет место последняя ситуация,
сумма обоих X — >0 на правой стороне стремится к нулю, а сумма на левой стороне также стремится к нулю. Но надо помнить, что он построен не для какого-то разделения области на части: ведь нам нужно отдельно разбирать область (р’) и (Р’). Чтобы перейти от произвольного разложения области (P) к разложению этой конкретной формы, достаточно приложить кривую (L) к разделительной линии. Суммы, соответствующие им, отличаются
- только тем, что они соответствуют основным областям, которые касаются кривой (L). Однако, согласно Лемме n ° 340, их общая площадь стремится к нулю при X — >0, и сумма обоих бесконечно мала и различна. Итак, получается, что условие (6) заполнено полной общностью, а функция/(x, _u) является (P) и интегрируема. Наконец, доказанная формула получается путем перехода от уравнения к экстремуму X — >0 Б)Л=2/(^^Р,,. Аналогично, из рассмотрения интегральной суммы, обусловленной переходом к пределу, получаются следующие три свойства: 3°. Если вы умножите функцию
/ (x,y), интегрируемую в (p), на константу K, результирующая функция также интегрируема, y&/(x, y) y P=K (П)<П) г) (1Р.244CHAP. XXI. двойной Интеграл / 341 4°. В области (P), если функции/(x, y) и§(x, y) интегрируемы, то функция/(x, y)±§(x,y) интегрируема, и Y!/(,уу\ЛР-У У/(^>у) г р±щ§(х, у) ар. <п)(п)\п) 5°. Если выполняются интегрируемые неравенства функций(P)/(x, y) и%(x, y) / (x,y)^&(x, y), то Y y/ (, y) y&(x>y) (Р)(Р)) Затем, 6°. Для интегрируемости функции/(x, y) функция/|(x, y) / интегрируема, неравенство / Y5W y y y y / {x, y)\a p. (R)(R)) Интегрируемость функции следует из простого замечания,
что вибрация o этой функции в любой области (P^) не превышает Людмила Фирмаль
соответствующей вибрации / функции. Конечно, тогда 2<0P; погоня за нулем для 2p и второй суммы влечет за собой погоню за первым нулем. Доказанное неравенство получено путем ограничения перехода от неравенства 12Ж-Б) Л-1<21/0.- ,^) 1^. 7°. Функция / (x,y)интегрируема, если в (P) удовлетворяет неравенству Это т р^У/(х,г)л р р.^М \ Р1 Это достигается предельными переходами от очевидных неравенств (7) т р^г&,^р^м р. Если разделить все части неравенства (7) на p: (С/<*,?><<?3421§1. Определение и простейшие свойства 245 А через Р-указывается среднее отношение, и тогда мы
получаем еще одну запись неравенства(7) (8) Она представляет собой так называемую Б Е О Р Е М У С Р Е Д н е м з н ачению. Теперь, в частности, предположим, что функция/(x, 3/) смежна с(P) и принимает T и L4 как минимум и максимум области(P)—по теореме Вейерштрасса[n°136]они существуют! Тогда, согласно известной теореме Больцано-Коши[n°134], непрерывная функция, принимающая значения t и 714/(x, y), должна проходить через каждое промежуточное значение. Итак, в любом случае в области (P) должна быть точка (x, y): p=/(x, _u), а выражение (8)принимает вид/(x, _y) y P=/(x, y)-P. (9) (П) Это особенно распространенная форма Т Е О Р Е М а с о СР ЕД н ем. Обобщенная теория также легко переносится на рассматриваемый случай
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
