Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Чтобы номер леммы a был пределом числовой последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы его член xn имел вид xn = a + an, n = 1, 2, …. {an} бесконечно малый столбец. На самом деле мы даем некоторые последовательности {xn} и число a. положить = = н-а. Тогда условие It xn = a, как определено в ограничении последовательности n^® » Истина эквивалентна: Для всех е, есть поП и все по,, € N N 12 Уравнение \ xn-a \ e, то есть неравенство | an | e, и это эквивалентно тому, что It an =. □ n^®W Эта лемма демонстрирует особую роль микропоследовательностей в изучении концепции ограничений, поскольку общая концепция ограничений последовательностей с использованием этой леммы сводится к концепции нулевых ограничений.

Этот факт более широко используется при изучении многих свойств сходящихся последовательностей. Людмила Фирмаль

• Давайте докажем природу ограничений последовательности, связанных с определенной операцией над членом числовой последовательности. I. Если последовательность {xn} сходится, последовательность {| xn |} также сходится, если It xn = a, n^®W NT | x «| = | a |. n^®Ж1n | Доказательство. Для Hm xn = a, каждый e n^®W Неравенство | xn-a | e, но || xn | | a || | xn-a |. В результате получается неравенство || xn | | || e для всех чисел n ne, т. Е. Hm | xn | □ n^®W 2. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью, и ее предел равен той же линейной комбинации этих пределов последовательности. Дай мне Hm xn = a € K, Hm yn = b € K (4,35) n^®Жn^®Ж.

Тогда, поскольку условие леммы необходимо для существования конечных пределов, члены последовательностей {xn} и {yn} могут быть выражены как xn = a + an, yn = b + pn, n = !, 2, …, (4.36) {ap} и {Pn} бесконечно малы. Itn = Hm Pn =. (4,37) n^®Жn^®Ж 121 Здесь 1 и m могут быть любыми числами. Члены последовательности {lxn + mn} могут быть выражены в виде 1xn + mn, = (1a + Mb + (1 «n + mRn), n = 1, 2, …, (4.38) (4,36) Здесь, поскольку последовательности {an} и {Pn} бесконечно малы, последовательность {ln + rn} также бесконечно мала (см. Свойство 1 ° бесконечной дробной последовательности в 4.8). Ish (1ap + trp) = °. (4.р =) м (4,37) Следовательно, поскольку условие леммы достаточно для существования конечного предела, из уравнения (4.38) последовательность {1xn + rn} имеет предел, равный 1 a + mb. Ish (1 xn + mn) = 1a + pn, n^®m.

• При использовании математической индукции соответствующая формулировка конечной линейной комбинации сходящихся последовательностей следует проверенной. □ 3 ° Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, их произведение {xn} также сходится, Ish xnUp = Ish xn Ish Up, p^®m p^®m p^®m То есть существует предел произведения для последовательности сходимости и равен произведению пределов этих последовательностей. Доказательство. Ish xn = a и Ish yn = b. тогда ПМ ПМ xn = a + an, yn = b + pn, n = 1, 2, …, где Isn an = Ish Pn = °, поэтому ПМ ПМ xnUn = (a + ap) (b + pn) = ab + (anb + pn + anpn) 122 Из-за характеристик I и II минимальной последовательности (см. § 4.8), Следствие 1. Если последовательность {xn} сходится, последовательность {cn} также будет сходиться для любого числа c. То есть константа может быть извлечена из предельного символа.

Если последовательность {yn} является стационарной, это утверждение сразу следует за свойством 3 °. yn = s, n = 1, 2, … (Также, если yn =, n = 1, 2, …, из свойства 2 °). Следствие 2. Если {xn} последовательность сходимости, а V положительное целое число, Это утверждение следует из индукции из свойства 3 °. 4 ° . Доказательство. Дай мне Для ясности б. тогда Где согласно It ap = It Pn =, а результат 1 из свойства В ограничении последовательности III в разделе 4.3 существует такое число n, что неравенство yn 2 0 выполняется для всех чисел n n (фактически мы используем предположение 2-b, здесь b 0).

Если последовательности сходятся в соответствии с этой последовательностью или гипотезой, существует предел отношения последовательности сходимости, который равен предельному отношению этих последовательностей. Людмила Фирмаль

• Следовательно, n имеет(ynΦ0, поэтому его можно разбить на него). Где O, последовательность… ограничена (так, конечно, Следовательно, эта последовательность ограничена для всех n = 1, 2, …). В соответствии со свойствами бесконечных десятичных последовательностей последовательность {an3-Pn} бесконечно мала, поэтому последовательность Конечно маленький. Учитывая это, из (4.4O) Для б О Замечания 1. Для последовательностей с бесконечными пределами такое утверждение, как Физические свойства.

Есть 2 возможных случая. Точка а не совпадает с точкой деления, или точка А совпадает с 1 точкой деления. Людмила Фирмаль

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач	Лекции
Расчёт найти определения	Учебник методические указания

Вы можете видеть, что это связано с определенным числом a, то есть уникальным числом, принадлежащим всем сегментам. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Критерий Коши сходимости последовательности.	Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями.
Бесконечно малые последовательности.	Счетные и несчетные множества.