Свойства полунормированных пространств

Свойства полунормированных пространств

Свойства полунормированных пространств. В пространстве семинольма можно ввести понятие последовательности сходимости и ее ограничения. Определение 25.Квазинорма (в частности, норма) последовательность элементов в линейном пространстве X{xn}, но Hm / xp-x;! Если = 0, то последовательность (xn) сходится в семинольме к элементам x и x ==Птxn (в норме, соответственно). Введение различных квази-норм(особенно нормы) в линейное пространство функции дает вам разные понятия сходимости последовательности функций. Например, сходимость в каноническом смысле (57.14) подразумевает равномерную сходимость. Конвергенция (57.15) в семинольмовском смысле-это уже другой вид конвергенции. Это называется конвергенция.

Или, более подробно, он называется в смысле P-среднего (иногда он просто представляет собой конвергенцию в смысле пространства Lp). мы уже сталкивались с частным случаем сходимости такого рода около p = 1.См. лемму 2 в § 55.2, следствия леммы 4 в§ 56.7 и метрику (57.2), а также р = 2 в результате теоремы 12,§ 55.9. для p = 2 Средняя сходимость также называется сходимостью в смысле среднего значения 2-го порядка. Неравенства между различными семинольмами функций (57.16) и (57.17) позволяют установить отношения между различными типами сходимости функций. Например, ряд функций N-1, 2,…И функция/будет: 1°.Последовательность{/»}сходится равномерно к функции/на интервале[a, b]. 57.5.Характеристики пространства семинолов Четыреста тридцать семь 2°.Все η-1、2、/» _ / = 5 [a, b] [\ W, p [a, b].

Обратите внимание, что в квази-норма пространства последовательности сходимость, предел, как правило, не уникальны. Людмила Фирмаль

• Тогда последовательность {[n \сходится к функции с интервалом[a, 6], и в смысле среднего p, 1 = ^ p + oo. Фактически, благодаря (57.17) неравенство является ООН-пр ^(б-а) UgMn-Пн. Равномерная сходимость к функции / интервалу [a, b] последовательности{/»}равна、 Золото| / -/ / oo = 0. н〜 * с Так… Золото| / / л -/!Р = 0. п * * * * * Упражнения 16*.Построить пример последовательности последовательных неотрицательных функций в сегменте, сходящемся в среднем, но не сходящемся ни в одной точке. Кроме того, если FM-хп = A и ФМ хп = б、 п ► оо п ^ ОЭ В этом случае семинор разности 2 ограничений равен нулю. | / а −6 / −0.Это скоро последует из неравенства || а-би === || а-хп [+1 хп-Б1.

• Лемма 4. Для любых 2-х элементов X и y из линейного квази-норма пространства X, то неравенство | 1 * | −1U11 ^ » * U1. (57.18） Доказательство. С / х 1 = |!(x-y)+ y 1 | x-y 1 + Y / / тогда 1*!1УК1 * У! Точно так же \ Г -\ Х \ ^ \ Х-У. Из последних 2 неравенств следует неравенство (57.18). 0 определение 26. Пусть X-линейное квазинормальное (в частности, нормальное) пространство. Если существует константа при 0, например неравенство| / x||, то множество E A X называется ограниченным, а более подробно оно называется ограниченным квазинормой (нормой соответственно). = напр. М. Лемма 5.Если последовательность{xn \сходится к семинору X, то она ограничена. § 57.

Функциональное пространство Четыреста тридцать восемь Доказательство. для сближения х = Пт хп п ►СО Из-за наличия n0 в последовательности, если ETA>eta0,\ xn-x | 1 таким образом | х «| = М-проверить{1 ХС||, 1 почтовый индекс dg2!, / 11, N1 + 1}; затем Очевидно, что все Эта-1, 2,…Неравенство|| х | / = ^ Я не уверен. В линейном пространстве с семинольмом можно определить понятие непрерывных функций. Следующее (см.§ 57.9) требует концепции непрерывности функций для 1 и 2 переменных в полунормальном пространстве. Определите эти понятия. Пусть X-квазинормальное пространство. Вещественная или комплексная функция, определенная X, называется непрерывной в точке e1. 6, неравенство | /(х)-/(х0) 1 е. Пусть-также будет квазинормальным пространством.

Конечно, определение непрерывности может быть сформулировано для полунормального пространства, и последовательность элементов пространства может быть использована. Людмила Фирмаль

• Вещественная или комплексная функция, определяемая произведением XxY, называется непрерывной в точке (x0, (/0) eXxY x01 b, 1y-Yo.& , Неравенство Я /(+ Г) -/ (О, УО)| 8. Если функция/непрерывна во всех точках множества, то в этом множестве она называется непрерывной. Например, числовая функция, определенная в полунормализованном пространстве X/, называется непрерывной в x0 для последовательности (xn), сходящейся к x0 в семиноруме X. Mn|] xy-l0 / / = 0 П * ы Собственность/ / Ф(хп)= Ф(хп). П-оо Эквивалентность 2-х определений пределов функции, сформулированных выше, доказывается таким же образом, как если бы X был набором действительных чисел (см.§ 4.5). Лемма 6.Seminor / / x / смежный.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Нормированные и полуиормированные пространства.	Свойства нормированных пространств.
Примеры нормированных и полунормированных пространств.	Линейные пространства со скалярным произведением.