Оглавление:
Свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Напомним, что векторное поле 
называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. 
.
Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидального поля.
1. В соленоидальном поле поток вектора черта любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если 
, то существует такое поле 
, что 
. Вектор называется векторным потенциалом поля .
Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.
Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что 
).
3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).
Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями 
и 
; боковую поверхность трубки обозначим через 
(см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоянию из , и , равен нулю. Следовательно,
где 
— внешняя нормаль.
Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль перпендикулярна к векторам поля, то 
и, следовательно,
Переменив направление нормали на площадке , т. е. взяв внутреннюю нормаль 
, получим:
В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.
Потенциальное поле
Векторное поле называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. 
. Примером потенциального поля является электрическое
поле напряженности точечного заряда (и другие).
Приведем основные свойства потенциального поля.
Свойство 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.
Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно, 
.
В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство 
означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.
Свойство 2. В потенциальном поле криволинейный интеграл 
вдоль любой кривой 
с началом в точке 
и концом в точке 
зависит только от положения точек и и не зависит от формы кривой.
Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки и , соединим их двумя кривыми 
и 
так, чтобы контур 
лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем
Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:
т.е.
Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции 
, т. е. если , то существует функция такая, что 
.
Из равенства вытекает, что 
, т. e. выражение 
является полным дифференциалом некоторой функции 
(следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля 
.
Отсюда: 
. Следовательно,
т. e. вектор поля является градиентом скалярного поля.
Замечание. Из равенства 
следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции является потенциальным.
Из равенства 
следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
где 
— координаты фиксированной точки, 
— координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что 
).
Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (
— проекции вектора поля на оси координат).
Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. . (Иногда пишут 
; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания 
: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)
Пример №73.1.
Установить потенциальность поля
и найти его потенциал.
Решение:
Имеем:
Следовательно, поле вектора потенциальное.
Найдем потенциал по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. 
. Так как 
, то
Гармоническое поле
Векторное поле называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если и .
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
Так как поле потенциально, то его можно записать в виде , где — потенциал поля.
Но так как поле одновременно и соленоидальное, то
или, что то же самое,
т. е. потенциальная функция гармонического поля является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Циркуляция векторного поля |
| Ротор векторного поля. Формула Стокса |
| Дифференцирование функции комплексного переменного |
| Аналитическая функция тфкп |
