Оглавление:
Свойства нормированных пространств
Свойства нормированных пространств. В нормальном линейном пространстве X расстояние между элементами этого пространства может быть введено естественным образом. То есть, верно следующее утверждение. Лемма 7.Норма линейного пространства X-это измеренные измеренные измеренные измеренные пространства р(х, г)= \ х-г], (57.20） В этом случае сходимость последовательности пространства X по этой метрике совпадает с сходимостью нормы. Доказательство. Функция p (x, y), определенная выражением (57.20), на самом деле является расстоянием. Свойство distance (и см. 57.1) соответствует стандартному свойству 1 ° 4°(см. Это).2-е утверждение леммы ясно. Он говорит, что метрика (57.20) генерируется заданной нормой пространства X.
Множество стандартного линейного пространства ограничено в стандарте только в том случае, если оно ограничено как множество метрических пространств в смысле метрологическом. Людмила Фирмаль
- Например, метрика, генерируемая нормой| * 1 = 1 / x? +.-это очень хорошо.+ ; вещественный вектор ETA размерностей x (x1×2, … th в арифметическом линейном пространстве (xn) является метрикой евклидова пространства, определяемой выражением (18.1). Последовательность точек в базовом пространстве X относительно метрики (57.20) также называется нормой о норме, заданной в пространстве X. Практические вопросы 19.Докажите, что (см. Определение§ 57.5 26) (57.20) 57.1).
Образцы. Рассмотрим последовательность вещественных чисел с пробелом 1P, норму (57.10). указывает последовательность, в которой i-й член равен 1, а все остальные нули в en. Очевидно, в ПФТ | «и=（1 + 1）、 «’= 2 / ’。 57.6.Стандартные свойства пространства Четыреста сорок один Следовательно, последовательность элементов en, n-1 и 2 в пространстве 1P не может содержать фундаментальной и, следовательно, сходящейся подпоследовательности. Для всех ETA|| en | = 1 последовательность{en}ограничена. Множество{en}не имеет предельной точки в 1P, поэтому оно образует замкнутое множество в 1P (в противном случае вы найдете сходящуюся подпоследовательность). Итак, в бесконечномерном пространстве существует ограниченная последовательность, которая не может отличить сходимость.
- Существуют также ограниченные замкнутые множества, которые можно отличить от сходящейся сходимости, не являющейся последовательностью этих точек. Примечания: 1. Если нормы 2 элементов и-/ / (2) введены в линейное пространство X, то они эквивалентны (См. Определение§ 57.4, 23), последовательность xn e X, n = 1, 2,…Сходятся к элементу xeX в смысле нормы H (1) только в том случае, если он сходится к x в смысле Недействительным, поскольку нормы|| и||являются эквивалентными. ■ / (2） Существуют константы СХ 0 и С2 0 такие, что неравенство существует Ст я х-х / п | / хп-х R С2 Из этих неравенств немедленно следует эквивалентность сходимости к x в последовательности{«}в значении нормы||*} (1) и| p.
Из эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве, которая доказывается теоремой 2 57.4, мы можем видеть, что сходимость последовательности в этой точке для всех норм эквивалентна. Сходимость в квадратичной норме / * / / поскольку 2 эквивалентна координатной сходимости (см.§ 18.1 и 18.4), сходимость последовательности точек в конечномерном пространстве любой нормы эквивалентна сходимости числовой последовательности координат рассматриваемых точек относительно любого базиса. Примечания 2.Заметим, что если семинор не является нормой, то даже простые функции, такие как линейные функции на конечномерном линейном пространстве семиноров, не могут быть непрерывными.
Например, Семинол/|=|.Рассмотрим двумерное арифметическое пространство вектора X =(xl x2) с использованием X1|. | * ||Так что это, безусловно, половина нормы. = /xx 12a0.In кроме того, для любого числа это I * =(I * I Z * 2), поэтому 1 I * | / = | I * x | = | I11 *! | = / I11 */.Наконец, если y =(y1,y2) также является элементом X, то x + y =(x1 + y1, x2 + y2) и, следовательно,| / X +α/ || = | * 1 +«/ 1 | ^ | * 1 | + | 1/1 | = 8 * || + |»/ ||。Поэтому все свойства Семинола удовлетворяются. Линейная функция/ ( * ) = * 2 указывает, что X не является continuous. In дело в том, что если последовательность())=(1 / n, 1), то любая точка в виде x =(0, 2) (*2 необязательно) это ее предел. § 57.
Однако если семинор является нормой конечномерного пространства, то он подчеркивает, что линейная функция непрерывна по отношению к этой норме. Людмила Фирмаль
- Функциональное пространство Четыреста сорок два В смысле рассматриваемого Семинола. Тю | [ХL-х | = золото—0. п * п-СХ п В частности, точка 0 =(0, 0) является пределом последовательности{x (n)).Но Золото/(Дл））= 1 ^ 0 = /（0）。 п-оо Эго и означает, что функция f(x)= x2 не является непрерывной в семиноре| / x / = / xx |. Действительно, пусть X-нормальное линейное пространство Альфа-размерности и линейный функционал X.{ex,…, e n}является основанием X, и поэтому любой элемент гцпредстав может быть однозначно представлен в виде X = X \ Ex -\ -…\xepe / является линейным функционалом、 /(x)-/(x1e1 + * * * + xpep.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
