Оглавление:
Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Действительно,
и
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство
верно, так как 
.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Действительно, 
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
— постоянная.
Действительно,
(положили 
).
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
Пусть 
и 
. Тогда
где 
.
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если 
, то и 
, где 
— произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Пусть 
— независимая переменная, 
— непрерывная функция и 
— ее первообразная. Тогда . Положим теперь , где 
— непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию 
. В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем
Отсюда 
.
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.
Так из формулы 
путем замены на 
() получаем 
. В частности,
Пример №29.1.
Найти интеграл 
.
Решение:
где 
.
Дополнительный пример №29.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Формы записи комплексных чисел |
| Действия над комплексными числами |
| Таблица неопределенных интегралов |
| Метод непосредственного интегрирования |
