Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства

Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства

Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства. Линейное пространство полускалярного произведения полунормализовано в соответствии с (57.27). (см.§ 57.5). Лемма 11.Полуцветное произведение (x, y) является непрерывной функцией аргументов x и y на заданном множестве X x X (см.§ 57.5). наговор, 1 / экс. Доказательство. На самом деле, х0 Е Х, У0 Е Х, Лекс и(/ ех, неравенство| (*б е) (х, г)\ = (ХВ, х, е)+(х, г) \ ^ ^ Я А0-в 1.1 г * второй-H1AII1 г-У0 второй, (57.33） Пятнадцать * $ 57.Функциональное пространство 452. Из этого следует сразу же после указанного преемственность цвет товара полуфабрикаты. В самом деле, если Х е (ф (х, б), УО (г (У0, б)), тогда я получу его из|| Х |] || Х-с x01 | +1 | с x01 | || с x01 | / / с x01 / + б (57.33 Я(хо, е)-(х, г)| Б [У0 | У-(| ^ О | + Б) б.

Именно поэтому определяется понятие сходящейся последовательности, ее ограничения и понятие непрерывной функции Людмила Фирмаль

• Для фиксированного числа e 0 всегда можно выбрать b = b ^® 0, следовательно, неравенство xe (f (x0, b), ye (y0,b)|(x0, yo)-(X, y)| C e; для этого можно использовать δ|γ0Ц+(!| * 01 +δ) достаточно выбрать δ0 так, чтобы оно равнялось 6ε;это, очевидно, всегда возможно. В пространстве X с полуцветным произведением можно говорить о сходимости ряда семинолов, порожденных: И Скалярное произведение. Серия^ xn, x-1, 2,…называется, Н-1 Когда последовательность подпоследовательностей сходится, она сходится. П 8N-2 xn сходится на константе в указанных полунормах к = 1 И 5eX. Это называется суммой ряда. 5 = г] хп. Н-1 Обратите внимание, сумма ряда в Half-скаляр пространства И Продукт неопределенно определен. Однако, если 5 = 2 n-1 секунда И 5 * = 2 XP1, то есть 5 и 5 *являются суммой одного и того же ряда、 Н-1 А потом… 、|| 5 *-51 = 0（§ 57.5 для любого элемента aeX выполняется уравнение (b, a)=(α, α).

Действительно, благодаря неравенству Коши Шварца в полуцвете |(5, a)-(5, a) / = / (5 * −5, a）| ^ || 5 * −5 |||| a / / = 0. Например, из непрерывности полускалярного произведения по пространству ряд в пространстве с полускалярным произведением можно умножить на члены не только числовыми коэффициентами, но и элементами самого пространства. Давайте докажем это. Лемма 12.Дает сходящегося ряда с пространством х с половиной-скалярное произведение И Y%n-5, xn X, n = 1, 2,…• Мне 1 год Тогда для любого элемента aeX числовая последовательность, полученная из указанного члена, также сходится путем умножения a И 2 (Xn, a)=(5, a). С-1 57.9.Свойства линейного пространства со скалярным произведением 453 То есть для сходящейся серии из 2 hya и любого элемента、 Н-1 AEX справедливое равенство В| (Х, я)-(хы, я че-я = 1-Н = 1.

• Доказательство. С н 5 =IGA 2 ** » \ А = 1 К ТАК ЧТО L / I 2（* *°°）= 1！М 2 а)= 1 {м 2 г)= Н-1 «° ° Λ= 1 п » оо \ у = 1 = Тю 2х * д =(5″）• \ я °ОИ = 1 / Пиар и меры. Пространство T в Примере 3?Подумайте T2 [a, b]. Ноль ноль 57.8 пункта. Ряд 2π (0 / e функции? Предположим, что T, 2 [π, b] сходится к этому. Н-1 Пространство для функции/ейг [α, 6]. 2M0 = ф(0,* е = [а, к]、 Н = 1 То есть последовательность частичных сумм я (о = 2 месяца А = 1 Он сходится к функции I в смысле среднего значения 2-го порядка этого ряда. \ МН [/(0-8н(/)] 2(ч = 0. Я-00″ Тогда, согласно любой функции φ (x) E2 [a, b\, Лемма 12 а, Ф)= 2 (/«Ф） » Н-1 Оо&я-я Иначе говоря 5 n. h) f () 2№m f m 454. § 57.Функциональное пространство В частности, если p = 1 б (Х) DX = 2 5 / я (х) 1х. Иначе говоря.

Поскольку равномерная сходимость последовательности непрерывных функций означает сходимость этой функции к той же самой функции в смысле 2-го среднего (см.§ 57.4), аргумент доказал здесь, что если ряд непрерывных функций сходится равномерно в интервале, они могут быть интегралами термина интегральным образом. Этот результат был получен ранее другим способом в главах серии (см. теорему 36.4§ 9). Определение 36.2. линейное пространство X и y со скалярным (половина-скалярный) продукт, если изоморфны как линейные пространства, изоморфный, изоморфный, карты[отображение пространства X в пространство Y, и этот изоморфизм для поддержания скалярное произведение (половина-скалярное произведение).

Поэтому, если ряд функций с интегрируемыми квадратами в сегментах [a, b] сходится к функциям с интегрируемыми квадратами в [a, b], в терминах средних квадратов, то ряд может быть объединен терминами. Людмила Фирмаль

• Необязательные 2 элемента X E X и^ eX равенство (*.(у) И ( * ) НУ ( * ) НУ））2 изоморфные линейные пространства со скалярным (полускалярным) произведением отличаются только природой своих элементов, а не их метрическими свойствами. Поэтому изоморфное линейное пространство со скалярным (полускалярным) произведением часто не выделяется. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере. Пусть X и Y * линейное пространство скалярного (полускалярного) произведения, и пусть/ be. Изоморфизм множеству V и V *в пространстве X. Тогда элементы пространства X»идентифицируются» соответствующими элементами фактора.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Линейные пространства со скалярным произведением.	Пространство L2.
Примеры линейных пространств со скалярным произведением.	Ортонормированные системы.