Свойства кратного интеграла

Оглавление:

Свойства кратного интеграла

Свойства кратного интеграла. В этом разделе мы рассмотрим свойства кратных интегралов, а также свойства Интеграла функции 1 переменной на отрезке. 44.6.Характеристики кратных интегралов 145. 1°.Пусть-измеримое множество, то \ УО〜 \ хе. В самом деле, в этом случае подынтегральное выражение такое же, как и единство. Так что если М = {Е, -} 1 = 1-это разбиение множества е, см. (44.41） Десять \ уе =пятница ж! ЧП, = у. 2°. Если Е и Е *являются обязательными умереные, Е * А, Е, и, Е, и может быть интегрирована, Е *может быть интегрирована. Фактически, множество E * * * E \ E также измеримо как разница между 2 измеряемыми множествами. сделать м * = {е *}разбиение множества e * тонкости 6х, и М * * = {Е/*} разбиение множества e *тонкости 8х. m = {E *, E * » \ это раздел Установите тонкость 6X = 8X E. sot = 2ω ( / , Å?+ 2ω (!), ЕГ)рЕ/ *% * Икс ** И затем = 2]»(ЛЕ?).

Напомним, что интегрируемость множества функций (по Риману) означает измеримость в смысле Жордана. Людмила Фирмаль

Тогда, по-видимому, 0 sx * 5 ^ sot. Но Ft Soh = 0, следовательно Ft Soh * = 0、 БТ ^ 0 Вт » ^ о Интегрируемость функции / множества E * продолжается (см. (44.59)). 3°.Аддитивность интеграла к множеству. Если E ’и E» измеримое множество, E = E ’[} E«, E ’ å «равно 0, а функция/ограничена множеством E и интегрируема, то Интеграл$ / (x) eE’ и^ /(X) AE ’ присутствуют、 $ /( * ) Уе = $ / (х) уе + \ {(х) уе. (44.70） Поскольку существование интеграла$ f (x eE) и$ f(x) eE получено из свойства 2°, вам нужно только доказать формулу (44.70).M ’ = {E.} и m „= {E /}множество разделов E ’ и E. m= {E ’i E] \является разбиением множества E, и его тонкость равна максимуму тонкости разбиений 6X-и 6X“. БТ = Макс | вх’, 6XD. Пусть = = Ei, л0) e = E）、 6Х= 2 /Нет(0) П#, УГ = г? ТПЭ / Г р р » (44.71） Ах= = ах-Р Ах.」 § 44.

Кратные интегралы Сто сорок шесть Для интегрируемости на функциях / множествах E, E ’и E Следующий пример в следующем примере: Пт о = \ [(Х) уе, фри ой = \ [(х) е, Пт схх «= \ /(х) уе». 6T -, 0 * bx-о■ ’в,» О-1 Итак, если вы достигнете предела равенства при 6m-0 (44.71), вы получите (44.70). Замечание. Вы должны знать о следующих ситуациях: есть случаи, когда функция/определена в наборе E = E’) E».Где E ’и E» измеримые множества, E’EE «φ, интеграл $ / (x) ee ’ и\ {{X) ee существуют, интеграл $ / (x) ee не существует. Поясним, что было сказано в Примере. {r, cp) как полярная Координата точки на плоскости、 / R C 1 Если 0 / ЧГ Ф) / r_1 0, если P = ^2π、 Е ’= {(р, п). r 1} открытый круг, E „= {{r, φ)./-= 1} это круг.

Очевидно, несмотря на то, что функция/не ограничена E, потому что она\ 1E“ = 0, $ /(/, φ) СШ » =0. Также существует Интеграл§ / (r, Phi)eE-0.Однако Интеграл§ / (r, Phi) eE замкнутого круга E-E ’11E» не имеет exist. In фактически, множество представляет является замыканием области, поэтому оно имеет произвольное малое разбиение, и все его элементы имеют положительную меру (отсюда и аннотация теоремы 7). для этого Ичена не может быть интегрирована. Если функция / интегрируема в ограниченных множествах E и E», и E ’ å » =(7), то она интегрируема в множестве E-E ’[} E«, и далее выражение (44.70) истинно. Раздел 44.7.

Обратите внимание, что если либо множество E ’, либо E «равно 0, почти дословное повторение аргументов, выполненных в доказательстве, дает интегрируемость ограниченных функций / соединений, предполагая, что каждая из них интегрируема. Теорема 10.Действительно, это интегрируемое множество, ограниченное измеряемым множеством E ’и E», eE ’= 0, E = E ’{] E».Тогда множество C∈E ’(множество E ’ играет здесь роль множества E0 теоремы) и P = .Если мы положим e \ 0, то P C E», следовательно, по характеристикам интеграла 2°Функция I оказывается интегрируемой в множестве P, и, как отмечалось выше, ее интегрируемость 44.6.Характеристики кратных интегралов 147.

Однако важно отметить, что эта ситуация маловероятна, если функциональность ограничена. Людмила Фирмаль

Множество E, следовательно, благодаря свойству 3°, соответствует действительности формулы (44.70), где / / (x) eE ’= 0 Точно так же вы можете доказать общие утверждения только более сложными способами. 4°.Линейность интеграции. Функции Д И Д. Для любого числа хх и 22 целое число 5 [11/1 (x)+ 22/2 ()] Å и уравнение существуют, если x интегрируемо в множестве. 5 [Р1 / 1 (х)+ Р2 / 2(l. EE=) Н ^ / Г (Х) е-]-Р2 $ / а (х) УО. 5°.Если функции/и§интегрируемы и привязаны к определенному множеству, то их произведение и отношение[1§(w!/ § 10) может быть интегрирован в этот набор. Е 6°.Интеграция неравенства. Если функции/и интегри интегрируемы в множестве и, и неравенство [(x) ^ § (x) справедливо для всех Χнерав, то(x) ee^ ^ §(x) ee. 7°.Если функция / интегрируема и ограничена множеством E, то ее абсолютное значение равно.

Существование интеграла.	Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу и их следствия.
Об интегрируемости разрывных функций.	Сведение двойного интеграла к повторному.