Оглавление:
Свойства главных осей инерции
- Теорема 1. Если одна из декартовых координатных осей, такая как Oz (рис. 31), является главной осью инерции точки O, а две другие оси Ox и Oy произвольны, то две центробежные инерции, включая индекс главной оси инерции Oz Момент меняет ноль, т. Е. J „= 0 и jy2 = 0. Главная ось инерции Oz является осью симметрии инерционного эллипсоида. Следовательно, каждая точка на эллипсе (M (O, y, z) и т. Д.) Соответствует точке M ′ (O, -y, z), симметричной относительно этой оси. Подставляя координаты этих точек в уравнение инерциального эллипсоида (27) по порядку, получаем Jyy2 + Jzz2-2Jyzyz = 1. Jy (-y) 2 + Jzz2-2Jyz (-y) z = 1.
Вычитая второе из первого уравнения, -4Jyzyz = 0. Поскольку y и z всегда могут выбирать точки, отличные от нуля, /, r = 0. Аналогичные соображения для двух точек N (x, O, z) и N ‘(-x, O, z), симметричных относительно оси Oz, позволяют сделать вывод, что Yxr = 0. Аналитическая геометрия в исследовании поверхностных уравнений Рисунок 31 Обратное утверждение второго порядка доказывает, что ось Oz является главной осью, когда Jn = 0 и J> z = 0. Следовательно, исчезновение центробежных моментов инерции Jxz и Jyz является необходимым и достаточным условием, чтобы ось Oz стала главной осью инерции точки O. Теорема 2.
Этот метод состоит из отбрасывания членов, содержащих обобщенные координаты и квадраты скорости и более высоких степеней в нелинейных дифференциальных уравнениях, и называется линеаризацией уравнения. Людмила Фирмаль
Если однородный объект имеет плоскость симметрии, точка в этой точке В плоскости одна из главных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие главные оси инерции находятся в этой плоскости. Для доказательства теоремы выберем точку O и ось декартовой системы координат Oxyz на плоскости симметрии П, а ось Oz ориентирована перпендикулярно плоскости симметрии (рис. 32). Далее, каждая точка объекта Mk (xk, yk, zk) массой mk соответствует точке M’k (xk, yk, -zk), которая симметрична относительно плоскости с той же массы. Координаты точек Mk и M’k отличаются только знаком координаты zk.
Для центробежного момента инерции Jyz, Jyz = tkUk2k = ^ mkykzk + £ tkuk (-zk) = 0, Это связано с тем, что часть тела (I), соответствующая точке с положительной координатой zk, совпадает с частью тела (II), поэтому точка имеет ту же координату zk, но имеет знак минус. Также доказано mkxkzk = 0. Потому что центробежный момент инерции — это Jyz и Jx. При исчезновении ось Oz становится главной осью инерции для точки O. Две другие основные инерционные оси перпендикулярны оси Oz, поэтому они расположены в плоскости симметрии. Центр тяжести однородного симметричного тела находится в плоскости симметрии.
- Таким образом, одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие находятся в этой плоскости. Доказанная теорема справедлива и для неоднородных тел с плоскостями материальной симметрии. Теорема 3. Если однородное тело имеет ось симметрии или неоднородное тело имеет ось симметрии материала, эта ось является центральной осью инерции. Теорема доказана, как и раньше. Для каждой точки поля Mk с положительными координатами xk, yk, zk Кроме того, для массы mk, если ось симметрии является осью Oz, будет точка с такой же массой и одинаковым размером, симметричная относительно оси с отрицательными координатами -xk, -yk, + zk. тогда * = 1 (I) (II).
Симметричные суммы вокруг осей частей тела (I) и (II) отличаются друг от друга только знаком координат Доказано, что Jyz = 0. Таким образом, ось Oz является главной осью инерции для любой точки на оси симметрии тела. Поскольку центр тяжести находится на оси симметрии, это центральная ось инерции. Теорема 4. Главная ось инерции точки O на центральной центральной оси инерции параллельна главной центральной оси инерции (рис. 33). Выберите систему с декартовыми координатными осями Ox’y’z ‘, параллельными главной инерциальной оси Cxyz в точке O главной инерциальной оси Cz.
Аксиома равенства сил действия и реакции — один из основных законов классической механики, сформулированный Ньютоном: все силы действия равны, но противоположны силам реакции. Людмила Фирмаль
Далее координаты точек тела Mk в двух системах координатных осей связаны уравнением переноса h’k = hk; y’k = yk; z’k = zk-h, где h = OC. Используйте эти уравнения для расчета центробежного момента инерции Jy.z., Jx, x. И Jx.y .. L- «■ = T, r» ku’kg’k = £ tkkzk-h tkuk = Jyi-hMus, с того времени E tkUk? K = JyI, e tkUk = mUS, Где М — вес Американские координаты центра масс относительно системы координат Cxyz. Точно так же получите следующее Jx.x. = Jxx-hMxc; Jx.y. = Jxy. Если C является центром тяжести системы, xc = 0 и yc — 0.
Для главной инерциальной оси центробежный момент инерции равен нулю. JyJ = 0; J „= 0; Jxy = 0. Используя найденное выражение При этих условиях: 33 z z ‘ J .z = 0; JI X = 0; Jx y = 0. Таким образом, оси Ox ‘, Oy’, Oz ‘являются главными инерционными осями в любой точке O главной центральной инерциальной оси Cr. Теорема доказана. В результате доказанной теоремы получаем Главная центральная ось инерции является главной осью инерции для всех ее точек.
Разумеется, главная ось инерции Oz точки O на центральной инерции центральной оси Cz совпадает с этой осью. Главная ось инерции не имеет таких характеристик. Главная ось инерции точки O на главной оси инерции точки O не параллельна главной оси инерции этой точки. Обычно вращается вокруг этих осей.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
