Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению
Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило, они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.
Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления 
. Обобщенная сила, соответствующая этим силам:
Скорость точек
так как
сложная функция, координата
Поэтому
Значит,
Обозначим
Тогда обобщенная сила сопротивления
Заметим, что по форме эта функция 
аналогична кинетической энергии . Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (20.5): 
(коэффициент 
также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению
Функция называется диссипативной, или функцией рассеивания энергии системы.
После подстановки в уравнение Лагранжа
получим дифференциальное уравнение
или
где 
— коэффициент сопротивления, 
— частота свободных колебаний без сопротивления.
Найдем решение уравнения (20.10). Характеристическое уравнение 
. Корни его 
могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента 
.
Случай малого сопротивления 
.
Корни получаются комплексными 
где 
,
. Решение дифференциального уравнения ищем в виде
где постоянные 
и 
или 
и 
находятся по начальным условиям.
Сравнивая решение (20.12) с (20.2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная 
,и, непостоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими.
График таких колебаний дан на рис. 20.5.
Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода
Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (20.3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.
Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода 
)
То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина 
. Натуральный логарифм ее, равный 
, называется логарифмическим декрементом колебаний.
Конечно, через период амплитуда уменьшится в 
раз, а через 
периодов — в 
раз.
б) Случай большого сопротивления (п>к).
Корни характеристического уравнения получатся вещественными:
В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (20.10)
Решение явно неколебательное, непериодическое.
Графики таких движений показаны на рис. 20.6. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления 
.
в) Случай равного сопротивления 
.
Корни характеристического уравнения получаются равными 
. Поэтому решение дифференциального уравнения
Эта теория взята со страницы помощи с решением заданий по теоретической механики, там найдёте другие лекции и примеры решения задач или сможете заказать онлайн помощь:
Помощь по теоретической механике
Кстати возможно вам будут полезны эти страницы:
| Основные определения колебательного движения |
| Малые свободные колебания системы |
| Вынужденные колебания системы |
| Удар в теоретической механике |
