Оглавление:
Свободные гармонические колебания упругой системы с одной степенью свободы
- Свободная гармоническая вибрация Упругая система со степенью свободы В процессе теоретической механики рассматривается задача о гармонических колебаниях системы со степенью свободы. Упругая система обычно представляет собой пружину, расположенную вертикально(рис. 518). Дифференциальное уравнение вибрации груза массой Q (без учета массы пружины) можно получить, используя принцип шаламбалы. J>когда сумма y / / / проекций на вертикальную ось всех сил, действующих на груз, равна нулю: К4-СХ-(м—^ — х)=0,
Откуда Х ф-СХ=о, Или Х4-ygh=о, Где x-вторая производная движения груза во времени /; «==х г■(20-2) Здесь С-жесткость пружины, численно равная силе, с помощью которой пружина растягивается, равной единице длины. g-ускорение свободного падения; 5316СТ-статическая деформация натяжения пружины вследствие действия висячей нагрузки Q. Уравнение(20.1) явно имеет следующее общее решение, которое устанавливает зависимость между продольным x нагрузки и временем I: x=A cos co / 4-in sin co/, (20.3)
где co-круговая частота собственных колебаний, A и B-постоянные интегралы Людмила Фирмаль
в зависимости от начальных условий. В качестве начальной точки движения выбирается положение груза, соответствующее состоянию равновесия. Если начальные координаты нагрузки заданы x0n, то начальная скорость равна 1> Ноль. если =x при/=0, то интегральная константа выводится из уравнения (20.3). Предполагая, что L=L’O; B=•(20.4)x-a sin a и~=A cos a, уравнение (20.3) также может быть выражено как x-a sin (co/ -| — a); амплитуда колебаний a=V7F+ — B2, Или °=Г| / — Х2 4 -. Значение Co / 4-a называется фазой колебаний, а значение a-сдвигом фазы. Основываясь на выражении (20.4), его можно определить из условия т г=^. Из уравнения(20.2), круговая частота собственных колебаний определяется по формуле (20.5) Принимая во внимание, чтопредставляет собой больше t взвешенной
нагрузки Q, частота круга также может быть представлена как: Напомним, что круговая частота относится к числу колебаний, совершаемых в течение 2l секунд; круговая частота измеряется в C-1. 532зная круговая частота колебаний, можно найти период колебаний T (время одного полного колебания) по уравнению 7=-=2L] / — =2l•(2 0-6 ) 11)|г т с Обратная величина периода колебаний определяет число колебаний в единицу времени (Ы) и называется вторым временем-Топией: С1(0г » Т «Г Г’ Частота второго колебания обычно выражается в Герцах, а число Герц равно числу колебаний в секунду. Как реальная упругая колебательная система с определенной степенью свободы, она представляет собой
систему, состоящую из упругих тонких стержней, верхний конец которых жестко закреплен, а нагрузка явно ниже, если вес стержня значительно меньше веса груза, то эта система ничем не отличается от рассмотренной ранее (рис. 518). Поэтому для определения частоты, периода и амплитуды собственных колебаний груза, подвешенного на упругом стержне, необходимо установить жесткость стержня, соответствующую жесткости упомянутой выше пружины для груза, подвешенного на пружине. При растяжении стержня, имеющего длину I и поперечное сечение F, абсолютное удлинение стержня, как известно, определяется по формуле Сила, соответствующая статической деформации 6 СТС, равна единице и представляет собой искомую жесткость: с=. (20.7) затем, исходя из Формулы(20.5), определить
собственную частоту подвешенной нагрузки Q (20.8) Что у вас на уме-у-сел Представляет вес груза, который можно запить- Из формул (20.8) и (20.9) видно, что частота свободных колебаний системы увеличивается с увеличением жесткости, или же одинакова. 533c снижение / статическая деформация, вызванная этой нагрузкой. Легко понять, что груз, подвешенный на упругом стержне, имеет гораздо более высокую частоту собственных колебаний, чем тот же груз, подвешенный на гибкой пружине. Отношение собственной частоты нагрузки, приложенной к двум разным стержням, обратно пропорционально квадратному корню отношения статического удлинения стержней. Пример 79. Определить собственную частоту нагрузки Q=20 кгс,
длину стального стержня 40 см и площадь поперечного сечения f=1 см2, подвешенного на конце материала E=2×10°кгс / см2 с модулем Людмила Фирмаль
упругости. Частота круговых колебаний, согласно формуле (20.8), 981 • 2 • 106 я не уверен. J20, и * 40 с-1=1570-х гг.» \ Поэтому собственная частота нагрузки соответствует примерно 1570 2л » 2-3, 1 4гц-250гц. Пример 80. Определите, как изменяется частота самой нагрузки P котебанный, если первый способ ее фиксации переходит ко второму, разрезая пружину на две равные части и среднюю нагрузку 519). Частота колебаний пружинно-подвешенного груза, Рис пятьсот девятнадцать 4Р/?3л СД4 Для первого контура Где C-жесткость пружины, R-средний радиус витка, n-число витков, d-радиус проволоки пружины, b-модуль сдвига. Во второй схеме каждая часть пружины будет иметь большую жесткость^—2 секунды В первом случае происходит
перемещение груза В последнем случае каждая половина пружины принимает нагрузку Р / 2. Поэтому при перемещениях груза 6-р-р-6″2~2С, — 2-2С,~4 * Частота колебаний груза, подвешенного на пружине по исходной схеме, 534 частота вибрации подвесных грузов по второй схеме, Соотношение частот / ’М 2 При замене метода подвеса нагрузки, ФЛ, частота увеличивает дважды. Пример 81. Найти период колебаний подвешенного груза Q на жесткой резьбе(рис. Игнорируйте трение блока 520). Определить жесткость верхней и нижней пружин соответственно SG и C2-перемещение груза q, который подвешен статически. Это движение образуется растяжением верхней пружины 6B»под действием силы 2F и нижней пружины o под действием силы Q», т. е. нижней нагрузки Q (С,+2С..) Затем период колебаний Приведенная выше теория расчета продольных
колебаний может быть также расширена в случае расчета поперечных и крутильных колебаний. Например, рассматривая невесомую балку с определенной степенью свободы, она получается в виде уравнения движения (20.1). В этом случае вместо переменной x следует принимать смещение груза в направлении, перпендикулярном оси, то есть отклонение w. Формулы для собственной частоты и периода колебаний те же(20.5) и (20.6). В этом случае b. t-отклонение под нагрузкой Q в статических приложениях. Случай будет описан ниже. Пятьсот двадцать один, 6СТ-ш». Например 82. Для определения частоты собственных поперечных колебаний стальной вал диаметром d составляет приблизительно ДАСК= = 100 кг (несущая масса рясы составляет 50 мм). 522). Собственная частота поперечных
колебаний системы, рассматриваемая в одной степени свободы, определяется по формуле (20.5); Один. a — ^0 дюймов S-φ0↓ Где BST-статическое отклонение вала в положении диска: C_ _ Qa2b2 100 • 402 • 602 • 64 °St^SG— 3 • 2 • 10E• 3,14 • 5* • 100 С » М » 0, 0 3 1 2 см> Значение, полученное по формуле s35postavlyaya frequency 6st, имеем Примером упругой системы, способной к крутильным колебаниям, является диск, который крепится к стержню по схеме, показанной на рисунке. 523 к диску в его плоскости прикладывается пара сил, и при его резком удалении вместе с диском происходит свободное колебание кручения стержня. Указывает на крутильную жесткость вала (крутящий момент, необходимый для скручивания вала на один Радиан) через C={d-диаметр стержня,/ — его длина) и игнорирует силу инерции ма
ссы стержня по сравнению с массой диска, а крутящий момент стержня выравнивается с моментом инерции диска и дифференциальными уравнениями: (20.10)) Здесь J-момент инерции диска относительно оси стержня, перпендикулярной плоскости диска. Для материала г удельный вес постоянной толщины диаметром d круглого диска Тонны _nD * hy_QD* Где Q-вес диска. Для дисков переменной толщины H(Р)) D / 2 J в= — — — Ф Л О’) Л>- * (Дж Показано f=A cos co / 4 является общим решением в sin co/. Таким образом, наблюдается период крутильных колебаний рассматриваемой системы Т= — =2л|л -. совместно
с г Стержень 536 для периода колебаний и частоты каждого постоянного диаметра поперечного сечения d (20.11) Длина вала a и fe, для Этот результат применим также к системам с двумя вращающимися дисками фиг. 524). На самом деле, если диск скручен относительно другого диска, а затем приложенный внешний момент немедленно снимается, то диски могут начать скручивать друг друга, в этом случае средняя часть вала остается неподвижной. Положение этого так называемого узлового участка t-t можно найти из эквивалентного условия частоты колебаний обоих дисков
с соседними участками, применяя формулу (20.11). 1 1L LBE / 4 2И Ф3 2Д^’ Откуда Но ~ ~ Л’ Где J t и J2-момент инерции диска соответственно. Используя последнее соотношение и a+b=/、 Первый и второй, чтобы увидеть его p * * B— / 1 + / 2 ′ J. +J2 Тогда вместо замены формулы a (PLI B) период и частота крутильных колебаний формулы (20.11) будут равны: T=2l1/»». F=_J_1/рассматриваемая вибрационная система является прототипом вибрационной системы, которую многие упругие системы находят в технике, поэтому особенно важно учитывать две вращательные массы.
Смотрите также:
| Продольно-поперечный изгиб | Вынужденные колебания упругих систем с одной степенью свободы |
| Ведение. классификация механических колебаний | Рассеяние энергии при колебаниях |
