Свертка и преобразование Фурье

Свертка и преобразование Фурье

Свертка и преобразование Фурье. Определим функции φ и φ для всего вещественного axis. In в различных задачах математики часто используются так называемые свертки функций φ и φ.На это указывает φφ.Или, если x-аргумент свертки, то (φφ) (x) определяется уравнением 4-ОО (ΦΦ) (x)=§Φ (() Φ (x-1)I. (56.28)） КОМПАНИЯ. Для простоты в этом разделе рассматриваются функции φ ( / ), φ (0% (0 получает только фактическое значение)).Если обе функции ограничены и полностью интегрируемы, то Интеграл (56.28) определенно присутствует!。Кроме того, Интеграл(56.28), кроме того, Интеграл Ч-ТАК 5 1F (0) КОМПАНИЯ. Он сходится равномерно по всему реальному axis. In дело в том, что из-за ограниченной природы функции φ существует|φ| = ^Л4.Где М-константа для всех x. |Ф(0Ф (*0КЛ1 / Ф (01 И утверждения, сделанные благодаря абсолютной интегрируемости функции φ, основаны на критериях Вейерштрасса для равномерной сходимости интеграла (см.§ 54.1).

Если они интегрируемы и непрерывны, их свертка также непрерывна и ограничена, она полностью интегрируема. Людмила Фирмаль

• Из приведенных выше соображений, если функции φ и φ ограничены, то абсолютно Существование интеграла * ’ (56.28) гарантировано даже при более общих условиях, но это еще не конец. 56.9. Свертка и преобразование Фурье 407. In факт, непрерывность функции / следует за равномерной сходимостью интеграла (56.28) и ограниченностью от оценок. 4-Итак, -} ОО I (cf * f) (x) / $ / φ (σΦ (χ-I)\и m> / Φ(σIMко-ко. Докажем абсолютную интегрируемость свертки. / =φ * φ. У нас есть +*00 $ Ф(0 ф (х-0 4-ОО 4-со 5 | /(х)[х = ^ ух -СО-СО 4 * так * | » ОО 4 так 4-так yas yh $ / φ ((() φ (x-I) / M = | / Ф (0) Л$ / φ (x-I)| •СО-с -СО-СО +СО4-с° = 5 | f (01#$ и»(5) / yya.(56.29)） Здесь возможна перестановка порядка интегрирования 4-и Факты (см. теорему§ 54.3 7) (() ф (х -/) I©1 Х4-00 Сходится равномерно по оси и интегрирует§ / φ(0Φ (x-1)\ yx.

Утвердительный ответ 4-и = / φ (01 X) φ (X ()) \ X сходится равномерно к произвольному конечному Объектно-ориентированный От 4-4 -° Сегмент(почему?), И повторите Интеграл$ xx $ |φ ( / ) φ (х-Щ1、 ко-ко. Из последнего уравнения выражения (56.29) следует, что оно существует следующим образом. Итак, при сделанных предположениях вы можете применить операцию свертки к функции/ =φφ с непрерывной ограниченной и полностью интегрируемой функцией (а затем снова получить функцию того же класса) или с преобразованием Фурье. Операция свертки функции является коммутативной и ассоциативной в классе функции под consideration. In факт, когда вы завершаете изменение переменной x > 5 в Интеграле (56.28), вы получаете: + ОО + со Фф= ^Ф(ОФ(Л.-1) иИ= ^ф(х-5) ф(5)^ 5 =ф*ф. -СО-СО.

• Кроме того, измените переменную I = y-|на следующий Интеграл, изменив порядок интегралов и изменив его § 56. Интегралы Фурье и преобразования Фурье 408. Х-г + | = г], получаем 4-от-4-о° (ф * ф) * х = 1 $ (г-х) в 5 Ф(0ч(я-0 ^ = ОО-ко. 4″ СО 4-со = $ x (* /*) &^Φ (y-1) ((x-y + 1)% = -И. И СО-4-со = $Φ (в-б) Д1 $ с(х-г + 1) х(м-х) 1х = ко-ко. } −4〜 = $((Y-b) Ъ5 ′ Φ (П)) x (!-м] М11 = м * х) * Φ=Φ(Φ х） ко-ко. Возможность перестановки порядка консолидации в этом случае также получена из теоремы 54.3 раздела 7.In факт, мы смотрим на интеграцию равномерной конвергенции 4-и%(y-x) 5 y (y-1)\ $(x-y + 1) (11, (56.30） С-00. Ч (г-Б), 5 б(х-м + б) х (г-х) & -(56.31） КОМПАНИЯ. Поскольку функции φ и χ ограничены,|φ / ^ M,| x/^.Потому что M » M-это константа、 | х (г -) ф(г / 1Ф -+!)1 = ^ UI2 | f (g / −1) 1 |φ (//-φφ (++хχ (//0101 = ^ M2 | x(y -*) 1Из абсолютной интегрируемости этих неравенств и функций φ и X.

Интеграл (56.30) и (56.31) сходятся равномерно относительно переменных x и|или согласно критериям Вейерштрасса. (Переменная y фиксирована) любой конечный интервал (причина).Наконец, существует повторяющийся Интеграл От 4-4 * 00 5 5 1Х (Г-4Ф(Г -!Ж * —Г + 1) число=(1F1 * 1F1) * 1×1компания. Таким образом, выполняются все условия указанной теоремы 54.3 7. Рассматривая свертку функций, имейте в виду, что ограничения, накладываемые на складные функции, могут быть значительно ослаблены.

Однако доказательство характеристик свертки в этом случае потребует, прежде всего, более тонкой теоремы об изменении порядка интегрирования. Людмила Фирмаль

• Для простоты этого делать не стали. 56.10.Производная функция преобразования Фурье т. Затем рассмотрим преобразование Фурье свертки 2 функций. Для удобства измените определение свертки p * f, добавив дополнительный коэффициент 1/] / 2l. + 00 5Ф (О^И Теорема 3.Функции φ и φ ограничены числовой осью, непрерывны и абсолютно интегральны. И затем… Доказательство. Функции (коралловые рифы ограничены, непрерывны и полностью интегрируемы. Таким образом, функция φφ имеет те же характеристики, в частности, она абсолютно интегрируема, и преобразование Фурье может быть рассмотрено. С 00 часов ^ [φ*φ] ^§ex1x, Ex ^ cp ( / ) φ (x-1)d. 1. О, о. Измените порядок интеграции здесь(это возможно).

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций.	Производная преобразования Фурье функции.
Преобразование Фурье производных.	Метрические пространства.