Существование интеграла

Оглавление:

Существование интеграла

Существование интеграла. Простейший пример интегрируемой функции Римана определяется произвольной числовой функцией / определенным множеством Åan, Жордановая мера которого равна нулю. да =0.In в этом случае для множества e разбиение m =all 1 = 1, 2.!Потому что pD = = 0 для、 Потому что если вы выберете любую точку, вы получите f ( ^ )) p ^ = 0、 (См. (44.42)） Из = бык(/; е Трансальп…,^) = 2 /(E ( | )) ^ = 0. «=1 Итак, согласно определению Интеграла, этот случай существует и равен нулю. ([(х) де = Пт ВЗ = 0. Функция/особенно произвольна, поэтому она может быть unlimited. In другими словами, ограниченное условие функции не требуется для интегрируемости Римана в любом измеримом множестве Жордана. Напомним, что для интегрируемости римановых функций на интервале необходимо условие ограничения функции (см. теорему§ 27.2 1).

Однако, если вы внесете некоторые изменения, вы можете увидеть, что теорема ограниченности интегрируемых функций справедлива для рассматриваемых здесь интегралов. Людмила Фирмаль

Сначала докажите лемму. Лемма 7.Предположим, что функция/определена с множеством E, которое может быть измерено в Иордании, где x = {/7r} r = 1° это разбиение для этого множества, А E * объединение всех элементов, которые имеют положительное измерение этого разбиения. Е * = ер г Ноль Если функция[не ограничена множеством E*, независимо от числа M 0, точка 5u’) eE (неравенство м 1-1. Определите функцию/в наборе E, которая может быть измерена с помощью результата Jordans. Если множество E имеет малое разбиение и функция / не ограничена в объединении всех элементов этой положительной меры, то функция/не может быть интегрирована в E. Доказательство Lemma.

By гипотеза леммы, множество E * это объединение элементов E в положительной шкале. 44.4.Существование интегралов Сто тридцать семь М. Раздел. Поскольку все разбиения состоят из конечного числа элементов, E * конечная сумма заданного множества Д,= M. So если функция/не ограничена множеством E*, то она не ограничена множеством положительных измерений-для ясности пусть она будет установлена E.Так как функция / не ограничена в Er, вы можете выбрать последовательность = Ünn= 1, 2, так что равенство тm/ ( / ^ ) =°равно true. To исправить Е ► сотрудничество Или в методе оставшихся точек| e) E D, −1 = 2, 3、 П Итого 2 I (5 (.)) ED-это фиксированное число, а pDx-1 = 2 0, затем сумма P ^)1XE1 + Y1 [(1 ^) ^ E1 1 = 2 Золото Л-ОО 1 = 2 = + ОО. для n-oo первый член-бесконечность, а второй член-константа.

Отсюда Итак, для любого числа M 0 можно выбрать число 110 = n0 (M), такое, что выполняется неравенство. м. Я не уверен. Доказательство, конечно. Если функция / интегрируема в множестве E, то есть существует предел Футов Е1 = \ ТХ)、 ^ 1 = 1 Тогда для e 0, например e = 1, существует 6″ 0, поэтому для каждого разбиения M = {D, -} множество тонкости E DD 6 для любого выбора точки| 1 ′ т Неравенство Один 2 /(!»Нет -$ / ( * ) ае Н, следовательно, неравенство (44.53)） 5 /(X) & E-1 2 /(&(П) ЕД $ / (X) с / д + 1. 1 = 1 § 44.Кратные интегралы Сто тридцать восемь Если функция / удовлетворяет условию индуктивного метода, то множество существует имеет 6cc 80 разбиений M гранулярности, где функция / не ограничена соединением всех элементов положительной меры этого разбиения.

Тогда сумма по Лемме 7 2 /(1 (.)) P ^ ’*может быть сколь угодно большим по абсолютной величине I-1 Значение путем выбора точек e E, e. So такая функция не может быть интегрирована, и условие (44.53) не выполняется. Тс Здесь мы покажем, что игнорирование нулевого набора измерений ограничивает интегрируемую функцию. Теорема 6.Если функция / интегрируется в множество, то множество aeÅ измеряет ноль. PE0 = 0, так что функция / ограничена E \ E0. Доказательство. Предположим, что функция / интегрируема в E и что нет множества E0, как показано в теореме. Используйте множество e разбиения m для любого b0 0 и тонкости bt b0. E * указывает на объединение всех элементов для положительных измерений. Тогда множество E \ E является суммой конечного числа E) e, А e измеряет ноль.

Непустое пересечение замкнутого n-мерного куба и открытого n-мерного пространства имеет положительную низкую меру Жордана. Людмила Фирмаль

Таким образом, он сам измеряет ноль. p (E \ E) =0.As в результате этого предположения функция / является неограниченной в множестве E*.Из этого мы можем видеть, что функция/не интегрируема, согласно результатам леммы 7. Тс Здесь мы покажем, что ограниченная теорема интегрируемой функции отлично сохраняется для важного класса открытых множеств, которые могут быть измерены в Jordan. To докажите это, вам нужно 1 геометрическая Лемма. Красные 8.Результирующее открытое множество, которое может быть измерено в Иордании, имеет произвольное малое разбиение, и все его элементы имеют положительные показания. Доказательство леммы. Куб с размерами 0, открытый набор пространств.

Множества меры ноль.	Об интегрируемости разрывных функций.
Определение кратного интеграла.	Свойства кратного интеграла.