Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел

Оглавление:

Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел

Существование и единственность суммы и произведения действительных чисел. Это позволяет пользователю сделать следующее:* есть действительные числа x для любого действительного числа a и B, то есть их сумма.48ч. 2. Действительное число Д О К а з а т е л ь с т в о. Изменить любое рациональное число

А2 и P2, удовлетворяющих двойному неравенству а<А2, Б < Р2, удовлетворяют неравенству рациональное число C и Р Е во ЗМ о ж н ы е<а, Р1<Р1 6. Убедимся, что множество{и=, неравенство a из a2 и Cдоказана теорема. Аналогично, как и x, мы можем предположить, что мы можем взять точную нижнюю сторону множества{AG+RG}всех возможных рациональных чисел, удовлетворяющих a<a2,&<P2 и сумме P2 a2+RG. EOREM А

Е Д и Н с ТВ Ен н о СТ и М у д В У Х в е щ е с т вен н ы х чисел. Это сумма данных чисел A и B. Д О К а з а т е л ь с Т В Людмила Фирмаль

О. два вещественных X]и x2 удовлетворяют неравенствам для всех возможных рациональных чисел|a1+P1 «C X1a2 4 * RG» (2 12)I4 «RG x2®g4» RG s, A2, P1, RG удовлетворяют неравенствам. Сайт isasi, Р1<&<РГ. (2.13)измените любое положительное рациональное число e. Благодаря положительным рационалам§1 и§3 Лемма 4. Операции

сложения и умножения 49 для e / 2 и заданных действительных чисел a существуют A2 и AG-O1<e / 2, где такие рациональные числа»1 и a^a равны g. Аналогично, для данного e / 2 и данного вещественного^числа B существуют такие рациональные числа 01 и 02, а также 01<Bs02″и 02-P1<e / 2. Если взять указанные неравенства AC A2, 2.13 и 02, то можно увидеть, что и xc, и x2 удовлетворяют этим неравенствам. (2.12), это можно переписать как У1<х|<У2, Т1<Х2<72,

Наденьте 71= 01 + 01, 72 = 02+02-и я думаю, что 7 2-71=(«2+П2)—(А1+Р1) = (» 2 — » 1) + (₽ 2 — П1)<+ — г=8 г Мы получаем,что и XY, и X2 цифры заключены между рациональными числами и Y2, и разница заранее невелика, если взять E, который является рациональным положительным. Благодаря Лемме 3 в §3 доказана теорема X]=x2. При применении двух рациональных чисел a и B наше определение суммы действительных чисел приводит к тому же результату, что и предыдущее определение суммы рациональных чисел. Фактически, поместите a и B в два рациональных числа, A+B к сумме согласно предыдущему определению, а AC AG, 01 и 02 к любым рациональным числам, удовлетворяющим неравенству (2.13). Тогда очевидно *

неравенство справедливо Для рациональных чисел неравенство одного знака может быть сложено вместе(см. Конец пункта 1§1). Sch+P1<^y+Bca2+RG, (2-14) кроме того, согласно теореме единственности, число a+B является единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравенству(2.14). Доказано, что существование и единственность произведения двух заданных действительных чисел весьма схожи. Ясно, что достаточно доказать существование и единственность двух П О Л О Ф и произведение числа а и в их л н ы х. Для доказательства существования

любого рационального числа A2 и 02 удовлетворяют неравенствам a< " 2, B<√2, а все возможные рациональные числа a]и p удовлетворяют Людмила Фирмаль

неравенствам 0<A1< все произведения 01-01 множества{AG01}имеют границу сверху, и легко видеть, что число AG-02 является одной из верхних граней этого множества.®0 Глава 2. Действительное число Согласно основной теореме 2.1, существует точная верхняя поверхность этого множества x, которую легче проверить, поэтому она удовлетворяет неравенству si * 01<x<X < A2-02, то есть произведению числа * a и B. Аналогично, произведение положительных чисел a и B может оказаться точной нижней стороной множества{AG-RG}произведения AG-RG неравенства A AWG, удовлетворяющего всем возможным рациональным числам A2 и RG. *В качестве M, например, можно взять число m=2 (a+&). R1g -.P1A2″: L1, 0<P1<y P2<L1. (2.16) если зафиксировать любое положительное

рациональное число e, то с помощью леммы 1 из заданных действительных чисел a и B такое рациональное число AC AG, P1 и P2 удовлетворит неравенству(2.16). Однако благодаря (2.15) оба числа x\и x2 заключены между рациональными числами AG-RG и AGR. А2-Р2-П1-П1=П2 (П2-√1)+Р1 («2—»1)<2м• — ^ — =Е. Благодаря Лемме 3 в §3, Вы получаете X1=x2. Применяя к двум рациональным числам, с помощью теоремы единственности, и к сумме, наше определение произведения действительных чисел приводит к тому же результату, что и в предыдущем определении произведения рациональных чисел.

Механические приложения	Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси
Некоторые конкретные множества вещественных чисел	Свойства рациональных чисел