Стремление коэффициентов Фурье к нулю

Оглавление:

Стремление коэффициентов Фурье к нулю

Стремление коэффициентов Фурье к нулю. Важную роль в теории тригонометрических рядов играет тот факт, что коэффициенты Фурье абсолютной интегрируемой функции стремятся к нулю как η -«∞.Это получено из несколько общего описания, которое доказано ниже, которое часто используется в исследованиях, связанных с рядами Фурье и связанными с ними проблемами. Теорема 2 (Риман).Если функция/полностью интегрируема, конечна или бесконечна в интервале (a, b), b М /(х) Омега§ЧХ 6.х = \ м [(х) ztx 1м = 0. В-соц Результирующий абсолютный интегрируемый коэффициент Фурье функции (55.6) стремится к нулю как n-* oo. 55.2.Нулевые коэффициенты Фурье Триста сорок девять Прежде чем доказать эти утверждения, мы введем много понятий, которые будут использоваться неоднократно в будущем.

Это происходит от того, что пересечения полусекций с конечным числом границ также являются полусекциями того же рода. Людмила Фирмаль

Определение 4.Для функции/, определенной поперек числовой оси,/(x) Φ0 называется ее опорой и является замыканием множества точек, обозначенных zirr/. Определение 5.Функция, определенная по числовой оси, называется конечной, если опора содержится в конечном сегменте. Определение 6.Для набора на числовой оси, функция Один Да. Х(х) Хе (х)= для Нве, для РТП、 Вызывается функция свойства множества E На рисунке 218 показана характерная функция полупериода в виде[a, b). Y \ 1 я? 1-1 1 | г]/] ^ ！！ 11! 1-1 / , 1, и r\»!_. 0 А Б 1 х Тоже фигура.218 219 Определение 7.Функция{определяется по числовой оси, попарно полуоси[a, b.), I = 1, 2,…если характеристическая функция m является линейной комбинацией конечного числа функций, то она называется функцией конечного шага.

То есть если его можно выразить в виде т. М-EShx) (55.7） 1 = 1 (Рис. 219), где (x) характеристическая функция интервала[a, -, b.);;, 1 = 1,…m-действительное число. Интервал[a, -, b*, 1 = 1, 2,…если m не нужно пересекать попарно, то легко увидеть, что получено эквивалентное определение. Очевидно, что функция в виде (55.7) конечна. * От латинского zirrothTiz—поддержка. $ 55. Ряд Фурье Т ragvnameyarshessha Триста пятьдесят Функция конечного шага / интегрируется по всей числовой ssi; далее, если она задана в выражении (55.7)、 + ОО Т + ОО Т Я РХ)0х =%К1 я ’ западной долготы ХХ = 2 Б $ * * = 2 бб-б). -ое 1 = 1-ОО с = 1 а; 1-1.

Упражнение 4. Лемма 2.Для функции/, которая может быть абсолютно интегрируемой в конечных или бесконечных интервалах с ребрами a и b, существует последовательность-oo = ^ oo, компактно поддерживаемых ступенчатых функций pn, n = I, 2. 1°) зиррфяа (агуг 2°) Золото| /(% )ЕР * {х)| ых-ой. п ^ СОА Доказательство. Сделайте функцию / возможной для абсолютного интегрирования в интервале с концами a и B. Это значение по умолчанию. Определенность интегрируемости в любом сегменте [ | .]], сеса ^ г) bй -romfrom (В общем случае полностью интегрируемой функции, см.§ 55.1, вы можете легко свести к этому).

Тогда, согласно определению неправильного интеграла для любого фиксированного числа e, существует 0 таких чисел|и t), что | \ НХ)\ ух + ^ \ РХ)\ ух-1 -. (55.8） И Т} Поскольку функция интегрируется по Риману на [интервале [ | , m]], разбиение m интервала [ | , m] в 5 * представляет собой нижнюю сумму Дарбо соответствующей функции и、 х Золото 5х -!(Х) йоу 6T » 0 6 Где 8T-степень детализации разбиения M. Таким образом, разбиение m = *в отрезке [ | , m)] существует, и в случае 5T это будет меньшая сумма. Функция, соответствующая разделу tv / Darboux, то есть К 5Т» = 2Т Д * т’ = /(*). & Х1 = * » * * Р = 1, 2,…к、 I = 1 1 * 55.2.Нулевые коэффициенты Фурье к ’(55.9） 351. К х 0 = 6. ^ Я Где e-указанное выше фиксированное число. Залечь 。 Γ, Γ, x .x {, 1 = 1, 2,. φ (χ)= {Λ (Для 0, x 11 или x ^ q. очевидно, φ (x) это шаговая функция, которая компактно поддерживается. х * Airrfs .

Все последовательные функции на отрезке доказывают, что опора является ограничением на равномерно сходящуюся последовательность ступенчатых функций, которые компактно поддерживаются в одном и том же отрезке. Людмила Фирмаль

В системе R / 3 = {а, у, andµ (х) (1х =У] ма ^ = 5тонн. 6 1 = 1 Так… ч ч ч ч ч ч ч ^ [/(x) Φ ()] yx = ^ / (x) yx ^φ (x) yx^®(55.10） Для этого φ (χ)f (x),^ X C T） f (x)-((x)= I /(x)-φ(4(22 = 0. Получены из неравенств (55.8) и(55.10). 1-часовой $ Я /(х) Φ(■)| г = ^ | /(х)! ух + ^ [/(х)-φ(*)] Т-\ Г \ [(х)\ топор. Я Например, пусть e =-и соответствующие компактно поддерживаемые шаговые функции φ, pn, n = 1, 2,…При представлении φф вы получаете ряд компактно поддерживаемых ступенчатых функций, которые содержат оператор леммы. [[] Доказательство теоремы. пусть χ (x)-характеристическая функция полуинтервала [|,»]).Тогда для любого интервала(a, b) th [5, d])、 9 * 1 11tC%(х)$1пхххх = нсс5тмхйх-Eagle—05 = 0、 V -, OO 4 V * 0 O 4 \ + GC ^ Для 05$у| 0505УГ) V 10808Т / / 0808ЛЧ1I ^ 2″ ？И… * «-0, г-ОО. § 55.Тригонометрический ряд Фурье 352. Конечный шаг функции.

Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра.	Интеграл Дирихле. Принцип локализации.
Определение ряда Фурье. Постановка основных задач.	Сходимость рядов Фурье в точке.