Степени с действительными показателями: свойста и примеры с решением

Оглавление:

Вспомните, как постепенно расширялось понятие степени. Сначала вводилось понятие степени числа с натуральным показателем n:

Затем рассматривались степени с целым показателем:

наконец — с произвольным рациональным показателем степени:

Математики часто используют также степени с произвольными действительными показателями. Множество действительных чисел состоит из чисел рациональных и иррациональных. Что такое степень с рациональным показателям, вы уже знаете. Введём понятие степени с иррациональным показателем.

Пусть

бесконечная последовательность рациональных приближений числа Степени с действительными показателями с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д. То есть это последовательность рациональных чисел, достаточно близко приближающихся к Степени с действительными показателями . Тогда

последовательность чисел (степеней с рациональными показателями), которые как угодно близко приближаются к некоторому действительному числу. Это действительное число и принято считать значением степени Степени с действительными показателями .

Приближённые значения (с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.) для степеней Степени с действительными показателями и представлены в таблице, выполненной с помощью программы Excel (рис. 14)

Замечание. Приведённое выше объяснение понятия степени с иррациональным показателем с точки зрения математики не совсем корректное, поскольку в нём используется нематематическое понятие «близко подходит». В математике ему соответствует понятие предел последовательности. Число а называют пределом бесконечной последовательности Степени с действительными показателями , если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число , что для всех n > N выполняется неравенство . Поэтому правильнее было бы сказать, что если пределом последовательности (*) есть число Степени с действительными показателями , то пределом последовательности (**) является число . Вообще, если а > 0 — число действительное, — иррациональное, то под степенью Степени с действительными показателями понимают предел бесконечной последовательности где — бесконечная последовательность, пределом которой является число . Корректность такого определения обоснована в строгих курсах математического анализа. В § 9 будут представлены подробные сведения о границе числовой последовательности.

Какими бы ни были действительные числа а > 0 и Степени с действительными показателями , степень всегда имеет смысл, т. е. равна некоторому действительному числу. Для таких степеней выполняются свойства:

Выражения, содержащие степени с действительными показателями, можно преобразовывать так же, как выражения со степенями с рациональными показателями.

Пример:

Как вы уже знаете, степени с дробными показателями рассматривают только при условии, что их основания — числа положительные. И степени с иррациональными показателями рассматривают только при условии, что основания степеней — числа положительные. А, например, выражения Степени с действительными показателями , — не имеют смысла. Это записи, которые не обозначают никаких чисел. Но, если > 0 , то существует и

Зная только степени с рациональными показателями, вы раньше и степенные функции рассматривали не все, а только такие, показатели степеней которых были рациональными числами. Теперь понятие степенной функции можно расширить. Степенной далее будем называть функцию Степени с действительными показателями , где — произвольное дей-ствительное число. В частности, функции , — степенные. Свойства этих функций такие же, как и свойства степенных функций с рациональными показателями степеней.

При каждом действительном Степени с действительными показателями степенная функция определена на промежутке . Свойства таких функций указаны в таблице.

Если Степени с действительными показателями — положительное иррациональное число, функция определена на промежутке ; такое же и множество её значений. Если иррациональное число Степени с действительными показателями отрицательное, то областью определения и областью значений функции является промежуток . Несколько графиков таких функций изображены на рисунках 15,16

Для отдельных значений Степени с действительными показателями степенная функция может рассматриваться и на более широкой области определения. В частности при натуральных она определена на R (рис. 17, а), а при целых отрицательных — на множестве Степени с действительными показателями (рис. 17,6). В этих случаях при чётных значениях функция чётная, а при нечётных— нечётная.