- Рассмотрим набор из N электронов, помещенных в контейнер. Стенка сосуда считается бесконечно высоким потенциальным барьером (§ 47), который препятствует выходу электронов из сосуда. Взаимодействие между электронами игнорируется. Поэтому в первом приближении можно рассматривать электроны в металле. Начните с изучения случая очень низкой температуры, которая позволяет получить все важные количества очень легко. Определите состояние системы, задав число частиц|/, гг, ₃₃ / .
в состоянии энергии, E,, B, in,…Для каждого набора » Пг, г,…, * 1 (асимметричное) состояние системы, соответствует либо нулю, либо 1.Состояние системы, в которой хотя бы 1 число n *больше 1, невозможно из-за принципа Паули. Если состояние системы находится в термостате, то вероятность системы, соответствующая определенному значению, задается регулярным выражением. Ж (п «л» л»…)- =е <’р -*,/ ’г(л» л., Л» …(49.1)） Где («„Из, зз,…)- Это кратность states. In наш случай, согласно (§ 46) выше, 0-1, для всех, лC1 и O-O, по крайней мере, для 1 “ >> 1.Энергия системы Е равна сумме, поскольку она отвлекается от взаимодействия частиц. Энергия всех частиц： Кроме того, понятно.%nₖ=Н.
Из (49.1) следует, что если температура 0 очень низкая, то состояние, в котором энергия как можно меньше, будет иметь замечательную вероятность(близкую к 1).Возможности других условий очень малы. Когда это происходит, температурная область называется газоденатурированной region. By Паули бан, в отличие от классического случая, минимальная энергия Яо положительна и не равна нулю.
Состояние, которое совместимо с запретом Паули и имеет самую низкую энергию, явно получается, когда самый низкий уровень N энергии частицы равен» «-1 для самого низкого уровня N, другими словами, самый низкий уровень N»занят» электроном. Эту минимальную энергию E (называемую нулевой энергией) легко найти. Согласно (47.9), число электронных состояний (число уровней) между энергией e и и+¿в、 <Ей) — Уве ^ е、 Где B — =2 ’ⁿm,’ g / tlgh,. Каждое из N под-состояний 1. один электрон; следовательно (49.2） Здесь 5c — это самый высокий занятый уровень энергии.
В дополнение к 5-му уровню, это равно общему количеству электронов、 И Н-ЛГ(.)- =- «Нет.• Подставьте значение B и получите его отсюда* & > = Таким образом, масса частиц (электронов) определяется по t и концентрации газа L / v. (49.2) при разделении па (49.3) (при учете СПП） (49.5） В отличие от классического случая E — (3 / 2W6, в статистике Ферми, по мере снижения температуры средняя энергия E становится величиной to, которая зависит только от концентрации газа. Это потому, что, 51), когда он проходит через вырожденную область, это происходит довольно быстро, теплоемкость C,= dE! DT стремится к нулю (конечно, это означает, что E, например Åa+ const•T, то C ненулевое).
- Попробуйте дать приблизительную оценку верхней границы температурного диапазона, при котором происходит вырождение газа occurs. In для того чтобы вырождение произошло, вероятность состояния энергии£должна быть очень мала, по сравнению с этой последней вероятностью, в отличие от состояния минимальной энергии. ₛ (4 ’- E C o) / e>е(ч’ — в₁)/е (49.6） В состоянии энергии£ высвобождается 1 запятая уровня, и электрон над ней уже может принять состояние, в котором он получает энергию большую, чем 5 энергии последнего занятого level. In в этом случае энергия, очевидно, имеет порядок. Поэтому, в случае вырождения Учитывая условие£0/0> 1 или (49.4)、 > 1.
Таким образом, вырожденные области распространяются на более высокие температуры, с меньшей массой частиц (электронов) и более высокой концентрацией LG / V. когда концентрация ME очень высока (около 1 электрона на решетку Иона) металла электронного газа, если металл твердый, при всех температурах вырождения достигают десятков тысяч Кельвинов. Это решает основные трудности в теории металлов, заключающиеся в том, что теплоемкость металла составляет 6 мол・к), То есть теплоемкость кристаллической решетки, а электроны практически не вносят никакого вклада в величину теплоты capacity.
Дело в том, что электронный газ в металле вырожден, и его теплоемкость в этом случае очень мала(по сравнению с теплоемкостью, определяемой решеткой), как показано выше. Этот вывод сохраняется и в более продвинутой теории, которая без существенных изменений учитывает взаимодействие электронов с ионами кристаллической решетки металлов. Для нормального газа (состоящего из атомов или молекул согласно статистике Ферми) вырожденное условие не выполняется до тех пор, пока температура сжижения gae не станет низкой, поскольку концентрация газа невелика, а масса молекул велика.
Напротив, в этих случаях, когда статистика Ферми дает результат, совпадающий с классическим, мы имеем дело с такой концентрацией и таким диапазоном высоких температур(§ 51).Поэтому в обычном газе речь идет об энергии поступательного движения частиц, поэтому можно воспользоваться классической статистикой. Вы также найдете давление вырожденного электронного gas. To для этого нужно знать свободную энергию CHR. In случай вырождения•)/•i * 1, следовательно, в этом случае、 ЧАО(49,8） Однако (49.5) Eo пропорционально y-2/ 、 Т=■£, константный•в-ш ’. (49.9） Поэтому, если использовать общую формулу давления, то она будет равна 2. Р = — — — — — дю — = — сопи в Или пу -/ -£₀.
Поэтому соотношение между давлением и энергией точно такое же, как и в следующем. (49.10） N (E<, конечно, зависит от температуры и концентрации совершенно по-другому) в классической теории обычных газов.
Смотрите также:
| Возможные квантовые состояния частицы в сосуде | Парамагнетизм электронного газа и парамагнитные свойства щелочных металлов |
| Применение статистики Бозе к фотонному газу | Статистика Ферми. Общий случай |
