Оглавление:
Стандартные задачи и схемы их решения
В частности, на методе возведения в степень основано решение многих весьма распространённых видов иррациональных уравнений и неравенств. Обратимся к стандартным схемам их решения.
Пример №226.
Решить уравнение
Решение:
Перепишем уравнение в виде 
,
и затем воспользуемся указанной схемой решения:
Ответ: 
Пример №227.
Решить уравнение
Решение:
Прежде всего, заметим, что обе части уравнения можно сократить на 2:
Действуя далее по схеме, получаем, что уравнение равносильно системе
Пример №228.
Решить уравнение
Решение:
Пусть
, тогда при 
уравнение принимает вид 
Уединив более «сложный» корень, приведём уравнение к виду
и воспользуемся приведенной выше схемой
Неравенство системы выполнено при всех 
, поэтому, сократив уравнение на у , получим 
откуда с учётом находим 
т.е. 
единственное решение.
Ответ: 
2) Неравенства вида
Пример №229.
Решить неравенство
Решение:
Согласно схеме неравенство равносильно системе
Пример №230.
Решить неравенство
Решение:
Заметим, что 
, причём 
— решение. Найдём другие положительные решения неравенства. Имеем
Решая каждое из неравенств методом интервалов, получим
Таким образом, приходим к ответу: 
.
3) Неравенства вида
Эта ссылка возможно вам будет полезна:
Пример №231.
Решить неравенство
Решение:
Согласно схеме, неравенство равносильно совокупности
Ответ: 
Отметим, что, вообще говоря, не все неравенства указанного вида удобно решать с помощью предложенной схемы. Приведём два примера, когда целесообразнее воспользоваться стандартным подходом, учитывающим ОДЗ.
Пример №232.
Решить неравенство
Решение:
ОДЗ: 
. Но тогда выражение в правой части неравенства отрицательно и, следовательно, неравенство верно всюду на ОДЗ.
Пример №233.
Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Заметим, что правая часть неравенства отрицательна на ОДЗ, в самом деле,
причем
Итак, исходное неравенство верно при всех x из ОДЗ.
Ответ: 
4) Уравнения вида
Пример №234.
Решить уравнение 
Решение:
Согласно схеме, данное уравнение равносильно системе
5) Неравенства вида 
Пример №235.
Решить неравенство
Решение:
Согласно схеме, неравенство равносильно системе
Ответ: 
Пример №236.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство равносильно системе
6) Уравнения вида
Пример №237.
Решить уравнение
Решение:
Перейдём от уравнения к равносильной ему системе
Ответ: 
Пример №238.
Решить уравнение
Решение:
Упростив подкоренные выражения, приведём уравнение к виду
Сделав замену 
, приходим к алгебраическому уравнению и решаем его:
7) Неравенства вида 
Пример №239.
Решить неравенство
Решение:
Возводя в пятую степень, получаем равносильное неравенство
Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
