Стальная стойка квадратного поперечного сечения

Пример задачи 9.1

Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длиной l = 3м центрально нагружена сжимающей силой F(рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х — защемлен, в направлении оси Y — свободен.

Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости

Решение

Поскольку стойка находится под действием сжимающей силы, она должна быть рассчитана на устойчивость, т. е. определено такое значение силы F, при котором не произойдет потери устойчивости (искривление).

Вычислим необходимые геометрические характеристики сечения стойки: площадь

моменты инерции относительно главных центральных осей

радиусы инерции

По размерам поперечного сечения стойка равноустойчива но верхний конец стойки закреплен в направлении главных центральных осей сечения различными способами.

Гибкость стойки определяется по формуле

Относительно оси Y (в направлении оси X) оба конца стойки защемлены. В соответствии с закреплением коэффициент приведения длины Относительно оси X (в направлении оси Y) нижний конец стойки защемлен, верхний свободный:

На рис. 9.4, б и в пунктиром показаны положения оси стойки в случае потери устойчивости.

Гибкость стойки относительно главных центральных осей

Определим критическую силу для стойки, используя формулы (9.2), (9.4) и (9.5) в зависимости от значений гибкостей. Для стальной стойки формула Эйлера (9.2) применима, когда предельная гибкость

Поскольку для данного случая относительно оси X гибкость , критическая сила определяется по формуле (9.2):

Относительно оси Y гибкость — используются формулы Ясинского (9.4), (9.5).

Критическое напряжение

Критическая сила

Определим наибольшие допустимые значения сжимающей силы F, используя коэффициент запаса устойчивости. Относительно оси X

Относительно оси Y

В качестве наибольшей допустимой сжимающей силы принимаем ее наименьшее значение:

В случае превышения допустимой нагрузки стойка потеряет устойчивость и искривится в плоскости своей наибольшей гибкости, т. е. относительно оси Х(в направлении оси Y). Действующее напряжение в стойке

Обратим внимание, что действующее напряжение а значительно меньше расчетного сопротивления R. Такое уменьшение а необходимо для достижения устойчивости стойки.

В случае различных значений потеря устойчивости стойки всегда произойдет в плоскости наибольшей гибкости.

Этот пример решения задачи взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета «Сопротивление материалов»:

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Дополнительные задачи которые вам будут полезны:

Пример задачи 8.4 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а)у нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

Пример задачи 8.7 Консольный стальной брус (рис. 8.15, а) круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм нагружен системой внешних сил. В опасном сечении бруса построить эпюры нормальных и касательных напряжений, отыскать его опасную точку. Проверить прочность стержня.

Пример задачи 9.8 Деревянная консольная балка длиной l = 2 м прямоугольного поперечного сечения нагружена сосредоточенной силой F = 5 кН в точке К под углом к оси Z (рис. 9.12, а). Проверить прочность и устойчивость балки.

Пример задачи 10.1 Груз массой т = 1,5 т при помощи троса поднимается на высоту Н = 30 м (рис. 10.2). В первые три секунды подъема с постоянным ускорением груз проходит путь s = 22,5 м. Определить площадь сечения троса, если его расчетное сопротивление R = 190 МПа, модуль продольной упругости Е = 100 ГПа, объемная плотность