Оглавление:
Сравнение действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства
Два действительных числа и
где
и
-целые числа, а
— десятичные цифры, называются равными, если
сразу при всех
Равными также являются числа

(это две эквивалентные формы представления одного и того же действительного числа ). В дальнейшем договоримся рассматривать только первую из двух приведённых форм представления периодических дробей (с периодом 0).
Положительную бесконечную десятичную дробь назовём положительным действительным числом, отрицательную бесконечную десятичную дробь — отрицательным действительным числом, нулевую бесконечную периодическую дробь (с периодом нуль) — числом нуль. Любое положительное действительное число больше нуля, а любое отрицательное действительное число — меньше нуля (и меньше любого положительного числа).
Введём для двух положительных действительных чисел операцию сравнения. Говорят, что из двух чисел и
первое больше второго, если либо
, либо если
, но
, либо если
(для некоторого натурального n), но
.
Два действительных числа и
называются противоположными числами. Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное число меньше.
На множестве действительных чисел также определены четыре основные арифметические операции: сложения, умножения, вычитания и деления, причём арифметические операции над действительными числами удовлетворяют тем же законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, что и над рациональными числами.
Рассмотрим, например, как определяется понятие суммы. Суммой двух произвольных действительных чисел а и b называется такое действительное число c, которое удовлетворяет неравенству

сразу для всех рациональных чисел , таких, что

Такое число c всегда существует и единственно (доказывается в курсе высшей математики).
Произведением двух положительных действительных чисел а и b называется такое действительное число c, что неравенство

выполняется для всевозможных рациональных удовлетворяющих неравенствам
,
. Такое число c также всегда существует и притом только одно. Произведение двух отрицательных действительных чисел определяется как произведение противоположных им положительных чисел. Произведение двух действительных чисел разных знаков
равно взятому со знаком минус произведению числа а на число, противоположное b . Это отрицательное число существует и единственно (аналогично определяется произведение
в случае
. Произве-дение двух чисел, одно из которых есть нуль, равно нулю. Значение числа не меняется при умножении его на единицу.
Для действий сложения и умножения действительных чисел вводятся обратные действия — вычитание и деление. Вычесть из действительного числа а действительное число b означает найти действительное число c такое, что . Разделить действительное число а (делимое) на отличное от нуля действительное число b (делитель) значит найти действительное число c (частное) такое, что
. Это всегда можно сделать, притом единственным образом. Множество действительных чисел замкнуто относительно введённых четырёх арифметических операций.
Приведём следующую теорему, отражающую важнейшие свойства действительных чисел.
Теорема 3 (совместные свойства рациональных и иррациональных чисел).
1) Сумма, разность, произведение и частное рационального и иррационального чисел есть число иррациональное, за исключением случая, когда нуль (рациональное число) умножается (делится) на иррациональное число и в результате также получается нуль.
2) Между любыми, сколь угодно близкими между собой двумя действительными числами всегда найдётся как рациональное, так и иррациональное число.
3) Чем ближе (на числовой прямой) рациональное число к иррациональному, тем больше цифр в периоде оно имеет. Если представить числовую последовательность, состоящую из рациональных чисел и стремящуюся к иррациональному числу, то количество цифр в периоде у членов этой последовательности стремится к бесконечности.
Сумма (разность) двух иррациональных чисел может быть как иррациональным , так и рациональным
числом. Аналогично произведение (частное) двух иррациональных чисел также может быть как иррациональным
так и рациональным
числом. Обратимся к примерам.
Пример №91.
Привести примеры нескольких рациональных и иррациональных чисел, расположенных на числовой прямой между и
.
Решение:
Так как и
,то в качестве рациональных чисел, удовлетворяющих условию задачи, можно взять, например, числа
или
. Примерами иррациональных чисел будут
,
.
Пример №92.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:
Для избавления от иррациональности воспользуемся приёмом одновременного домножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю (понятие сопряжённого выражения подробно рассматривается ниже в разделе, посвящённом решению иррациональных уравнений и неравенств)
a)
б) Воспользуемся тождеством Если положить в нём
, то получим, что к выражению
сопряжённым будет
. Далее, домножим одновременно числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю:

в) Имеем тождество: . Если положить в нём
, то получим, что для выражения, находящегося в знаменателе дроби, сопряжённым служит
:

г) Имеем


е) При имеем:


(отметим изменение ОДЗ в процессе преобразований: при умножении и делении на возникло дополнительное ограничение
Пример №93.
Упростить числа:

Решение:
а)1-й способ (метод неопределённых коэффициентов). Предположим, что под знаком радикала находится полный квадрат вида

Раскрывая квадрат, получим . Равенство

при натуральных а и b выполняется тогда и только тогда, когда Решим полученную систему подбором. Условию
удовлетворяют только четыре пары натуральных чисел

Из них условию удовлетворяет лишь последняя. Таким образом,

2-й способ (с помощью формулы сложного радикала). Пусть а и b — действительные числа, такие, что . Тогда справедливо тождество

называемое формулой сложного радикала. Доказывается эта формула возведением в квадрат обеих её частей. Эта формула была известна ещё древним арабам. Она позволяет представить один радикал в виде суммы или разности двух других.
Вернёмся к задаче. Имеем Поэтому
и, следовательно,
. Применяя формулу сложного радикала, получаем

б) 1-й способ. Представим число x в виде

2-й способ. Заметим, что, очевидно, X > 0, и возведем равенство в квадрат последовательно два раза:

откуда получаем тот же результат.
в) Отметив, что X > 0 , возведём равенство в квадрат:
Это квадратное уравнение имеет два корня
Итак, это число 2.
г) Отметим, что данное число положительно, и возведём равенство в квадрат. После несложных вычислений получим, что
Пример №94.
Сравнить числа
Решение:
Обозначим первое из чисел за x, и возведём равенство

в куб, используя формулу сокращённого умножения

Тогда получим

Заметим, что x = 1 является корнем последнего уравнения. Делением многочлена на
убеждаемся в том, что полученный в результате деления трёхчлен
не имеет действительных корней. Таким образом,
— единственный корень кубического уравнения. Следовательно, первое из сравниваемых равно 1. Ответ: числа равны.
Пример №95.
Что больше: или
?
Решение:
Уединив кубический корень, возведём оба числа в куб:


Ответ: первое число больше.
Пример №96.
Что больше:
Решение:
Выделяя полный квадрат под знаком квадратного корня в первом из чисел, получим:

Ответ: второе число больше.
Пример №97.
Расположить в порядке возрастания числа

Решение:
Рассмотрим функцию при
. Введём вспомогательную функцию

значения которой при равны соответственно ординатам точек
(поскольку отрезки
являются соответственно средними линиями трапеций
Покажем, что эта функция убывает при
. Действительно, её производная

т.к. — убывающая функция.

Тогда имеем цепочку неравенств

т.е. . откуда приходим к ответу.
Замечание. Полученный результат в действительности является прямым
следствием того, что график функции при
имеет выпуклость, направленную вверх (в строгом смысле).
Ответ:
Пример №98.
Найти все целые а и b, для которых один из корней уравнения равен
Решение:
Подставим в уравнение вместо значение корня
:

и приведём последнее равенство к виду

Заметим, что произведение рационального числа и иррационального числа
всегда иррационально, за исключением случая, когда
равно нулю (тогда это произведение рационально). В правой части равенства находится рациональное число
Поэтому равенство возможно
тогда и только тогда, когда
т.е. при
Пример №99.
Найти все целые n, при которых справедливо paвенство

Решение:
Поскольку при целых n число может быть или целым, или иррациональным, а число
-рационально, то отсюда заключаем, что
— целое число. Но тогда, в свою очередь, число
должно принимать целые значения, т.е. дробь
должна быть целым числом. Это возмож-но тогда и только тогда, когда
Учтём, что
Имеем набор возможных значений n:

Проверкой убеждаемся, что из всех этих значений исходному равенству удовлетворяет только
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: