Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли

Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теорема Гамильтона-Кэли

• Спектральное разложение самосопряженных операторов Ров. Теорема Гамильтона — Эли. Подумайте о самоклейке Оператор A и собственное значение Ai ^ A2 ^ … ^ An этого оператора Тора. Кроме того, EI, B2, …, EP Из собственного вектора, соответствующего {A ^}. И x∈V x = 2 ^ (x, ek) ek E.68) (См. §3§2 в Главе 4), Ae & = A & e &, поэтому используйте E.68) N Ax = 2_ ^ A /. (X, EK) EK. E.69) к = 1 Оператор П /.

• Определяется отношениями P /, x = (x, ek) ek, E.70) Вызывается проектором для одномерного подпространства, созданного Вектор ек. Обратите внимание на следующие важные характеристики проектора. 1 °) Pjfe = P / c (P ™ = P /., M — натуральное число) Доказательство этих свойств от отношения fP / P-W-P / GR-tgL-P / (tg p «» | p «• — yirktrj) х. -irkyirjjL) -irkyjL, Vjj ^ j- , W h f (x, ek) ek для k = j, -ix, e, .de, -, ek) Для ek «j Q ^ / j.

S / сразу следует за скалярным свойством произведения. — Самосопряженный линейный оператор. Людмила Фирмаль

Также обратите внимание на следующее непосредственно из определения E.70: Этот P & будет заменен любым оператором, который обменивается с A. Из соотношения E.68), E.69) и E.70) получите х ах жения: N к = 1 N Топор = ^ 21 л ^ р ^ х-Е-72) к = 1 Из E.71) Оператор J ^ = я р & также Вступление в силу: I = E Pb E.73) Из E.72) получают так называемое спектральное разложение.

• Время жизни самосопряженных операторов: N A = U От характеристик проектора 1 °) и 2 °) и подключения E.74) Следующая формула для A2: A2 = Очевидно, положительное целое число N к = л Рассмотрим произвольный многочлен p (X) = J ^^ Li cr ^ r. По определению Рассмотрим p (A) = 5 ^ T = 1 ckAk. (См. E.75) Легко получить следующее выражение для p (A): T p (A) = ^ 2p (Xi) Pi. E.76)

Теорема 5.23. (Теорема Гамильтона Кэри). Если A самоблокирующийся, Оператор и p (X) = det (A-AI) является набором свойств Это оператор гочлен, то р (А) = 0. Доказательство. Конечно, если А является самостоятельным Оператор и A ^ являются собственными значениями этого оператора. Таким образом, Теорема 5.8, A ^ является корнем характеристического уравнения, то есть p (Xi) = 0. Из E.76 p (A) = 0. Теорема доказана.

Докажем следующую теорему. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Норма линейного оператора	Положительные операторы. Корни m-й степени из оператора
Дальнейшие свойства самосопряженных операторов	Приведение квадратичной формы к сумме квадратов