Оглавление:
Собственные значения и собственные векторы матрицы
Число называется собственным значением квадратной матрицы
порядка
, если существует такой ненулевой
-мерный вектор
, что выполняется равенство
. При этом вектор
называется собственным вектором матрицы
, принадлежащим ее собственному значению
.
Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений уравнения
, которое называется характеристическим уравнением матрицы
. Множество всех собственных векторов матрицы
, принадлежащих ее собственному значению
, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
.
Можно доказать, что если квадратная матрица имеет
различных собственных значений, то отвечающие им собственные
векторы линейно независимы, а матрица в базисе её собственных векторов является диагональной:

Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

и привести ее к диагональному виду. ► Составим характеристическое уравнение матрицы :

Следовательно, матрица имеет два собственных значения
= 1,
= 13.
Для определения координат собственных векторов получим две системы линейных уравнений. Решая их, определим множество допустимых решений.

Полагая в общем решении системы 1 , получим
где
— произвольная постоянная. Следовательно, собственному значению
= 1 соответствует семейство собственных векторов
.
Полагая в общем решении системы , получим
. Следовательно, собственному значению
= 13 соответствует семейство собственных векторов
.
В базисе из любых пар собственных векторов (т. е. при любых
например, при
из векторов
) матрица
будет иметь вид

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Ранг матрицы в математике |
Системы линейных уравнений m*n в математике |
Квадратичные формы в матричной записи в математике |
Декартовы координаты в математике |