Оглавление:
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов
- Линейные собственные значения и собственные векторы Оператор Пусть Vi подпространство n-мерного линейного пространства V A — линейный оператор из L (V, V). Определение 1. Пространство V \ называется инвариантным сабом, Если он принадлежит каждому x, пространство оператора A В Vi элемент Ax также принадлежит V .
- Примером инвариантного подпространства в A является Живи кер а я им А. Определение 2. Число A называется собственным значением. Если существует ненулевой вектор х, такой как Ах = Лх. E.30) Кроме того, вектор x называется собственным вектором оператора A, Соответствует собственному значению L Следующее предложение верно. Теорема 5.8.
Потому что число А становится собственным значением. Людмила Фирмаль
Этот номер необходим и достаточен для оператора А Маршрут характеристического уравнения E.29) A Доказательство. Пусть A будет собственным значением A x — собственный вектор, соответствующий этому A (x / 0). Переписать Соотношение E.30) Следующий формат: (А-А1) х = 0. Поскольку x ненулевой вектор, из последнего уравнения кер (A-AI) Φ0, то есть Тусклый (кер (A-AI)) ^ 1. E.31)
Согласно теореме 5.1 dim (im (A-AI)) + dim (ker (A-AI)) = n, И из этого равенства и неравенства E.31) Dim (im (A-AI)) ^ n-1. E.32) По определению dim (im (A-AI)) равен рангу оператора A-AI. Поэтому из неравенства Е.32) Звучит (A-AI) <пар. E.33) Таким образом, если A является собственным значением, ранг матрицы A является XI Поскольку оператор A-AI меньше n, то есть det (A-AI) = 0, А является корнем характеристического уравнения.
Где A — корень характеристического уравнения E.29. к Поскольку неравенство E.32) выполнено, неравенство E.31), это такой (A-A1) Левый вектор x такой, что x = 0. Последние отношения Для связи E.30). A, следовательно, является собственным значением. теория Ма доказано. Результат Каждый линейный оператор имеет свой Чтение. На самом деле, характеристическое уравнение всегда имеет корень (По алгебраической основной теореме).
Справедлива следующая теорема. Теорема 5.9. Для матрицы A линейного оператора A Исходя из этого, {ek} является диагональю 7), что необходимо и достаточно. Тем не менее, так что базисный вектор ек становится этим собственным вектором Оператор. Доказательство. Базисный вектор ек Реальный вектор А Aek = \ kek, E.34)
- Следовательно, матрица A оператора A имеет вид (см. Соотношение E.13): И матричная концепция линейных операторов) A = Ай 0 … 0 \ 0 A2 … 0 V 0 0 … \ n J E.35) То есть диагональная линия. Матрица A линейного оператора A данного базиса {ek} Диагональ или E.35) формат. Далее отношения Е.13) Формат E.34), это означает, что ek является собственным вектором A Теорема доказана. 7) Помните, что если все элементы являются матрицами, они называются диагоналями.
Позиции, которые не находятся на главной диагонали, равны нулю. Давайте докажем еще одну характеристику собственных векторов. Теорема 5.10. Собственные значения Ai, A2, …, Xp Opera- Торус А отличается. Тогда соответствующий собственный вектор ei, B2, …, ep линейно независимы. Доказательство. Применить индукцию. Потому что еи не ноль.
Для вектора, одного вектора (p = 1), утверждение верно (1 Ненулевые векторы линейно независимы). Людмила Фирмаль
Позвольте заявлению Теорема доказана для m векторов ei, b2, …, es. Присоединяйтесь к этим Вектор em + i и уравнение ха + 1 Y, akek = 0. E.36) к = л Затем используйте свойства линейного оператора, чтобы получить ха + 1 ^ akAek = 0. E.37) к = л Так как ek является собственным вектором, Ae & = A & e &, так E.37) можно переписать следующим образом: ха + 1 oik \ kek = 0. E.38)
Согласно E.36) YlT ^ iXm + i & kek = 0. Это уравнение Равенство E.38), находим ха = 0 E.39) По предположению все A / различны, т.е. A /. +1 +1 f0. Поэтому из Е.39) И предположения о линейной независимости векторов ei, b2, …, em ot \ -ot ^ -… = am = 0-so из F.36), также Из условия, что em + i является собственным вектором (em + iΦ0), пепел +1 = 0. Следовательно, из уравнения E.36), \ = = q / 2 = … = пепел + 1 = 0. Это вектор ei, b2, …, em + i Линейная независимость.
Выполняется индукция и доказательство теоремы Он был завершен. Характеристический полином оператора результата A матрица с n различными корнями и некоторой базой Торус Диагональ. На самом деле, в рассматриваемом случае, Для заявленной теоремы собственные векторы линейно независимы, поэтому Вы можете выбрать Mu в качестве базы. Однако теорема 5.9 Исходя из этого, матрица оператора A является диагональной.
Смотрите также:
