Смежные классы. Нормальные делители

Смежные классы. Нормальные делители

• Соседний класс. Нормальный раздел. H \ и H <± — Любое подмножество G Произведение подмножеств U \ и H ^ есть Состоит из всех элементов вида h \ h ^. Где h \ g \ \, / i2? H ^. Используйте нотацию для генерации подмножества #S = # 1 # 2. (9.2) Рассмотрим случай, когда Hi состоит из одного элемента h. тогда Согласно (9.2) произведения Hi и H <± можно описать в виде bH ^.

• Когда подмножества Hi и H <± являются подгруппами Группа G, ее продукт H1H2, вообще говоря, Подгруппа. Пусть H подгруппа группы G и элемент группы G. набор Свойство AN называется левым смежным классом и имеет значение H Смежный класс смежности G подгруппы Н.

Людмила Фирмаль

Следующее свойство смежного класса (для этих свойств Чирикать только класс слева и класс справа Они сформулированы одинаково). 1 °) Для G aH = N 2 °) Для a b G N соседние классы aH и bH совпадают. 3 °), если два смежных класса одной подгруппы H совпадают Там нет общего элемента. 4 °) G aH, когда aH является смежным классом. Первое из перечисленных свойств очевидно. Пожалуйста, проверьте Свойство 2 °).

Так как 1 °, ~ lH = I, то от aa до x-e, bH = (от aa до 1) bH = a (от a до 1b) H = aH. таким образом Свойство 2 °) установлено. Передайте в доказательство третьего свойства. Достаточно ясно Однако, если есть элементы, общие для смежных классов aH и bH, Тогда они будут соответствовать. hi∈H и h2∈H являются ахх = бх2. (9.3) (Уравнение (9.3) означает, что существуют элементы, общие для классов aH и bH. Гаишник).

• Подгруппа группы G, поэтому элемент hih 1 1 Принадлежит Н. Из этого и (9.3) aHP = / c / i ^ 1 eH. Следовательно, согласно свойству 2 °) aH = bH. Свойство 3 °) Проверенная. Свойство 4 °) вытекает из того факта, что идентичность содержится в подгруппе содержит Элемент e, следовательно, ae = a E aH. Пусть H подгруппа группы G и все левые смежные классы.

Это класс, который является смежным одновременно. В этом случае Для любого элемента а = Na. (9.4) Разумеется, согласно свойству 4 °) элемент a G aH. С другой стороны С другой стороны, класс aH также является классом Hb, Это явно согласуется с множеством (потому что a∈H). На. Подгруппа. Все лишние классы слева.

Правый соседний класс называется нормальным делителем Группа G Следующее предложение верно. Людмила Фирмаль

Если H нормальный делитель G, произведение Связанные классы — связанные с такси классы. Фактически, aH и bH являются смежными классами. Тогда по определению Разделение произведения смежных классов на подмножество группы G, С учетом (9.4) aHBH = a (Hb) H = a (bH) H = (ab) (HH) = (ab) H, То есть произведение смежного класса aHBH является смежным классом (ab) H.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Понятие группы. Некоторые свойства групп	Гомоморфизмы. Фактор-группы
Изоморфизм групп. Подгруппы	Невырожденные линейные преобразования