Оглавление:
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства
- Смешанная работа вектора, его геометрический смысл, природа Рассмотрим произведение векторов a, b и c, построенных следующим образом: (Топор б) -с. Где первые два вектора умножаются на вектор, а результатом является скаляр для третьего вектора. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Есть явно ряд смешанных продуктов. Проверьте геометрический смысл выражения (а х 6) • стр.
d Я, я, я, я н \ \ (Axb) • c = d • c = \ d \ • npj c и \ d \ — \ axb \ -S, поэтому S — это площадь параллелограмма, построенного на векторах a и 6 и pr ^ c = I для тройки справа от вектора, pr ^ c = —I для слева, где I — высота поля. (A x b) • c = S • (± H), т. Е. (A x b) • c = ± Vy, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами a, b и c.
Создает параллелепипед с векторами a, S, c и вектором d = a x b в качестве ребер. Людмила Фирмаль
Следовательно, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на основе этих векторов, и, если эти векторы образуют правильную тройку, используйте знак плюс \ VS IS но Знак минус, чтобы сформировать левую тройку. Смешанные рабочие свойства
1. Смешанный продукт имеет циклическую перестановку своих факторов, то есть (a x b) • c = (b x c) • a = (c x a) • 6. Фактически в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни направление ребра. 2. Если знак векторного умножения и скалярного умножения обратный, то есть (a x b) • c = a- (bxc), произведение смеси не изменяется.
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Фактически, (a x b) • c = ■ ± V и a ■ (b × c) — (b × c) • a = ± K. Поскольку тройки векторов a, b, c и b, c, -re находятся в одном и том же направлении, знаки в правой части этих уравнений одинаковы. Следовательно, (a x 6) • c = a (6 x c). Это позволяет записывать смешанные произведения векторов (a x 6) в формате abc без знака векторного скалярного умножения. 3. Смешанные продукты меняют знак при изменении местоположения любых двух векторов фактора. То есть abc = –acb, abc = –bass, abc ––cba.
Фактически такая перестановка эквивалентна перестановке факторов в векторном произведении и меняет знак произведения. 4. Смешанное произведение неплоских векторов a, 6 и c равно нулю, только если они находятся в одной плоскости. Если <abc = 0, a, 6 и c находятся в одной плоскости. Предположим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V f 0.
Однако, поскольку abc- ± V}, abc f 0 получается. Людмила Фирмаль
Это противоречит условию, что abc = 0. И наоборот, предположим, что векторы a, 5 и c находятся в одной плоскости. Далее, вектор d-ax b равен d L c, потому что он перпендикулярен плоскости , где существуют векторы a, b и c. Следовательно, d-c = 0, то есть abc = 0. ►
