Случайные векторы с вырожденной матрицей ковариаций

Случайные векторы с вырожденной матрицей ковариаций

• Пусть Х = (Я |, …, Я ») —случайный вектор с используемой за- Распределение законов, а = Л1Х и Q = Rx существуют, причем мат- матрица ковариаций Q имеет ранг м <п. случай вероятностного вектора X — а сосредоточено в некотором м-мерном линейном подпространстве пространства Rm. Запишем представление (см. D) § 10) vQv ‘= vB’Bv’ = (vB’J где пХп-матрица В ‘= [Ъ \, …, б’н] имеет ранг т. вектор v = (oi, …, «„) квадратичная форма vQv ‘= v5’5v’ = (v5’J обращается в нуль на (п-т) -мерном линейном подпространстве V = {v: vQv ‘= 0} = {v: v5’ = 0}. (9)

Следовательно, для ueV DvX ‘= vQv’ = 0 и с вероятностью 1 vX’-MvX ‘= va’, т.е. vv (X’-а ‘) = 0. Людмила Фирмаль

• Полученное соотношение показывает, что вектор X’— а ‘с вероят- вероятности 1 лежит в м-мерном подпространстве L, являющемся ор- Как видно из (9), подпростран- подпространство L порождается столбцами матрицы В ‘. Нетрудно понять сосредоточено нн в каком собственном подпространстве L * czL. Действительно, если допустить, что с вероятностью 1 X — aeL *, 104 то найдется ненулевой вектор UeL и ортогональный к L *, такой, что с вероятностью 1 u (X’— a ‘) = 0, uX’ = ua ‘ и, следовательно, ‘= DuX’ = 0, т. е. ээээ, что приводит к противоречию, так как V и L ортого- ортогональны. Памечание.

Подчеркнем, что подпространство L, где сосре- сосредоточено распределение вероятностей вектора X, определено матрицей Q и не зависит от выбора матрицы в представлении Q = B’B. Людмила Фирмаль

Смотрите также:

• Примеры решения задач по статистике

Симметричное распределение	Вырожденное нормальное распределение
Невырожденное нормальное распределение	Распределение проекций стандартного нормального вектора

Если вам потребуется помощь по статистике вы всегда можете написать мне в whatsapp.