Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра

Оглавление:

Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра

В этом случае диапазон интеграла зависит от параметров. Рассмотрим более сложный случай, когда не только Субинтегральное выражение содержит параметры, но и от него зависят границы интеграла. В этом случае, Интеграл принимает вид Р(Ш’) /(Г)=^/(Х,У)Л Х. (11) (?’) Ограничимся изучением задач непрерывности и

Дифференцируемости по параметрам такого интеграла. Определите функцию теоремы 5/(x, y) и продолжите с прямоугольником[a, B;C, 5]и кривой X=<(Y), l-=√(z>) (C a) должны быть смежными и не превышать его. Тогда Интеграл(11) является непрерывной функцией y

в[C, C1]. Если U0 имеет определенное значение y, то Интеграл (11) можно Людмила Фирмаль

записать в виде ¶(.(Перейти) Р(Д’)» (?)) /0 0=§ / (x, y) a x+§ / (x,y)y x-y/(x,y) y x. (12) «(Ш) х) (3-е)) В Y — >y0 первый Интеграл, где предел уже постоянен, равен О ‘Ю’) Нееет)=^/(.Х, Y<,) х а (3 ‘ О) По теореме 2. Остальные два позволяют проводить интегральную оценку Ага.) // (x, y) Oh / ^m.₽ / S S u) — ₽ ₽ s UO) 1> < url cu шаблон) / / {х, г)<м•и А(Г) — А (Г») я, Тпру.) Где M=Shah|/(x, y)|, вследствие непрерывности функций a (y) и

p (y), в y-y Uo она стремится к нулю. Окончательно PT / (W>)=/(5>0), У-УО Это доказывает теорему.146ЧАП. Интеграл, зависящий от параметра / 299 Теорема 6 в дополнение к вышесказанному, если функция/(x, y) находит непрерывную производную (x, y) в прямоугольнике[a, B;C, d], а также производную от a! (y), P'(y), то

Интеграл (11) имеет производную по параметру, которая выражается формулой P (3)) /'(Г)=\Л<Х>3′)х + ₽'(г)•/(Θ(г)>г)—(г)•/(«(г\г)-(13)а(л И здесь мы исходим из равенства (12). Первый интеграл от Y=y0 имеет производную, представленную производной от производной РО это’о) §/’U(х>УО)^х a (Uo) — по теореме 3. Для второго интеграла (значение при y=y0 равно нулю) мы имеем среднюю теорему: ———С/(Х,У)•/(,У\У-у o3u-УО К7 РО это’о) Где x находится между p(y0)и p (y). Таким образом, производная второго интеграла при y=y0, соответствующая границам предыдущего выражения y-*y0

, равна △г(У О)’/(для△Су), От о)- Аналогично, для производной третьего интеграла при y=y0 получаем — а'(у О) — /(«СУО.Uounit)- Объедините все эти результаты и убедитесь, что производная G(y0) существует и задается приведенной выше формулой. Вывод обеих теорем остается верным в предположении, что функция/(x, y)

задана (и имеет заданную характеристику) только в областях, содержащихся в Кривой. X=a (y) и X=P(y). Возможность рассматривать функции вне Людмила Фирмаль

этой области использовалась для упрощения рассуждений. Полезно посмотреть на результаты, установленные с этой точки зрения: Интеграл I (y) получается из интеграла 1 (Г,Я,Г)^=^/(Х, У)<1х, И t p e X параметр^, а V, подстановка и=a (y), g/=p (y) зависит. Эта задача исчерпывается применением общей теоремы о непрерывности и дифференцировании комплексных функций. В частности, формула (13) записывается по классической схеме:

Дифференцирование под знаком интеграла	Определение равномерной сходимости интегралов
Интегрирование под знаком интеграла	Условие и достаточные признаки равномерной сходимости.