Оглавление:
Сложение и умножение операторов в физике
- Сложение и умножение операторов в физике. Когда / и g — операторы, соответствующие двум физическим ве Для / и g оператор / + g соответствует сумме / + g. смысл Добавление различных физических величин в квантовой механике, Тем не менее, он сильно варьируется в зависимости от того, что можно измерить.
Будь эти количества одновременно. Количество / г Оператор / и g имеют соединения, если они могут быть измерены одновременно Уникальная функция плакать одновременно Действительная функция оператора / + g и собственное значение Последний оператор равен сумме fn + gn.
Среднее значение этой суммы Любое состояние равно сумме их средних значений Индивидуальные условия Людмила Фирмаль
Когда количество / и г не может быть определено одновременно В случае разделенных значений значение их суммы f + g более ограничено. : О собственных значениях и операторных функциях f + g, где они обычно говорят Собственные значения / и g и функциональный износ.
Очевидно, что если операторы / и g эрмитовы, эрмитовы Поскольку существует оператор / + g, его собственное значение Собственное значение Следовательно, новая величина f + g. Обратите внимание на следующую теорему. / о, свести к минимуму Собственные значения /, g и (/ + g) o также Ранг / + г.
- Тогда это можно обсудить Если / и g присутствуют одновременно, генерируется знак равенства Однако это можно измерить. Доказательство В любом случае среднее значение Наименьшее собственное значение. В состоянии Значение величины (f + g) равно (f + g) о, (/ + g) = (f + g) о Между тем, (f + g) = / + g ^ / o +, МЫ Перейдем к неравенству (4.2). Здесь пусть f и g — измеримые величины одновременно. Us.
Наряду с их суммой, можно представить свою концепцию производства Как величина с равными собственными значениями Удержание собственных значений / и g. Легко увидеть Такое количество является его действием Во-первых, действовать по функции в свою очередь Тогда другой оператор.
что действие для функции Φ Оператор Людмила Фирмаль
Такой оператор нарисован Математически верно как произведение оператора / и г Однако, если Φη — общая собственная функция операторов / и g, У нас есть f + g = f + g- (4.1) (/ + G) 0 ^ / о + go- (4.2) fg ^ n = f (gVn) = fgn ^ n = gnf ‘& n = gnfn ^ n (Символ fg указывает, g для функции Φ, затем оператор / для функции g ^).
С таким же успехом вместо оператора fg Оператор г / отличается от основного фактора. Очевидно, последствия последствий обоих этих операторов Функция FP одинакова. Но так как каждая волна Функция f может быть выражена как линейная комбинация Состояние функции Фп, тогда оно будет таким же Оператор FG и G F результат действия и любой Функция.
Этот факт можно записать как символический Уравнение фг = г ф или fg-g f = o (4.3) Эти два оператора / и g называются коммутативными друг друга. Поэтому мы важны Результат: если две величины / и г могут иметь одновременно Определенное значение, оператор коммутативный Друзья.
Обратную теорему также можно доказать (см. § 11). f и g коммутативны, поэтому они имеют все собственные функции Вы можете выбрать общий смысл, который означает физически одновременно Соответствующая физическая величина может быть измерена. так Следовательно, оператор коммутируемости требуется, Достаточные условия для одновременных физических измерений Количество.
Особый случай операторских продуктов — опера Тора поднялась до некоторой степени. Исходя из вышеизложенного, собственное значение оператора f p равно (P — целое число) равно собственному значению оператора / Тот же самый г будет поднят в следующем. В общем, любая функция с оператором cp (f) может быть определена как оператор, собственное значение которого равно собственному значению той же функции (p (f)).
Мнение оператора. Когда функция (f (f) может быть разложена по рядам Тейло pa, то путем расширения действия оператора (p (f) Различные степени действия фп. В частности, оператор / -1 называется обратным оператором Это. Очевидно, что в результате постоянного воздействия Любой оператор функции / и / -1 То есть // -1 = / -1 / = 1.
Если количество / и g не может быть измерено одновременно, Принятие их работы не имеет вышеуказанного прямого значения Это оператор FG в этом случае Поскольку это не Эрмит, он не может соответствовать сущности Физическая величина.
Конечно, по определению Оператор транспонирования, напиши J Vfgbdq = JФ / ((Ф) ^ = J (^ Ф) (/ Ф) dq. Где оператор / влияет только на функцию Φ и оператор Поскольку Φ на g, это просто два произведения при интегрировании Функция: г $ а / ф. Повторно применить определение транспона Оператор, написание JΦ / & Φdq = J (f ′ &) (g <f>) dq = JΦ # / Φdq.
Поэтому был получен следующий интеграл. Согласно исходной функции, Ф и Ф меняются местами. То есть оператор g f является транспонированным оператором з / г и мы можем написать fg = fg, (4.4) То есть оператор, транспонированный по продукту / г, приблизительно Редактирование транспонированных факторов написано в Военный порядок.
Возьмите комплексный конъюгат с обеих сторон Уравнение (4.4), (Fg) + = g + f + • (4-5) Если каждый из операторов / и g эрмитов, (/ g) + = gf. Оператор fg эрмитов только если Факторы / и g являются взаимозаменяемыми.
Из двух некоммутативных произведений fg и gf Операторы Эрмита могут состоять из оперы Эрмита Торус — Симметризованный продукт \ (fg + gf) — (4.6) Кроме того, разница FG-GF является «Антиэрмитовский» оператор (т.е. транспонировать Данный оператор равен комплексному сопряжению, взятому с противоположным знаком).
Это может быть сделано путем умножения Эрмита г, так ^ ^ я (от фг до гф) (4-7) Также есть оператор Эрмита. В будущем используйте его иногда для краткости. ^ ^ ^ {f, g} = fg-gf (4-8) Для так называемых операторов переключения. Легко увидеть В этом есть отношения {fg, M = {/, h} g + f {g, h}. (4.9) Если {/, h} = 0 и {g, h} = 0, то здесь и далее То есть / и g никогда не являются коммутативными.
Смотрите также:
| Принцип суперпозиции в физике | Непрерывный спектр в квантовой механике |
| Операторы в квантовой механике | Предельный переход в физике |
