Оглавление:
Скобки Пуассона в физике
- Скобки Пуассона. / (P ^ q ^ t) является функцией координат и импульса И время. Создать общую производную по времени ft = m + E (^ + ^) — к Здесь подставим уравнение уравнения Ха вместо qk и pk. Милтон (40,4), я = х + <42L> Где было введено обозначение <* /> — Ј (ЈЈ-Ј &) • <42-2 » к Уравнение (42.2) называется квадратными скобками Пуассона Со мной /.
Как известно, такая функция динамической переменной, которая остается постоянной во время работы системы, называется интегралом движения. Из (42.1) условие, что величина / является интегралом движения (df / dt = 0), Может быть написано как f + {# /} = 0. (42,3) Если интеграл движения явно не зависит от времени, {I /} = О, (42,4)
Квадратные скобки Пуассона обладают следующими свойствами Людмила Фирмаль
Другими словами, скобки Пуассона, содержащие функции Гамильтона, должны исчезнуть. Для любой пары величин f и g скобка Пуассона определяется как в (42.2). {fg} = Y (d ldЈ_ dldg_) ‘и 2b) XJZi Z ^ \ d Pkdqk dqkd p j ′ 1 к , которые можно легко вывести из определения: Когда вы перемещаете функцию, знак меняется в скобках.
если Если одна из функций является константой (c), скобка равна нулю. {fg} = ~ {gfh (42,6) {/ s} = 0. (42,7) К следующему {/ l + / 2, g} = {рис} + {f2g}, (42,8) {/ 1/2, g} = fi {f2g} + f 2 {рис} — (42,9) Взяв частную производную по времени в (42.5), она становится следующей. + {‘§? } • (42.10) Если или функция / или g соответствует одному из них Для импульсов или координат скобки Пуассона просто сводятся к частным производным. = Я? <42-п> {/ «} = (42.12)
- Например, установите g = q ^ \ at (42.5), чтобы получить выражение (42.11). = 5 ^ / поэтому общая сумма сокращена до 1 участника. -adj = 0. Подставляя (42.11) и (42.12) функции / в ци и пи В частности, {Chrhk} = 0, {Prrk} = 0, {Piqk} = bik. (42.13) Между скобками Пуассона, состоящими из трех функций, Иметь отношения {f {gh}} + {g {hf}} + {h {fg}} = 0; (42.14) Это называется удостоверением личности Якоби.
Чтобы доказать это, обратите внимание на следующее: По определению (42.5) скобка Пуассона {fg} является однородной билинейной функцией первой производной от /. И г. Таким образом, например, скобка {h {fg}} является линейной однородной функцией второй производной от /. И г.
которые включают в себя вторую производную Людмила Фирмаль
Вся левая часть уравнения (42.14) является линейной Однородная функция второй производной всех трех функций /, Г, ч. Суммируйте термины, от /. Первая скобка не включает такие термины — только первая производная.
Перепишите сумму вторых и третьих скобок в символической форме и введите линейные дифференциальные операторы D \ и D2 следующим образом: Di ( i (D2 (/)) — D2 (Di (/)) = (DxD2-D2Dx) f. Такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторую производную от /.
На самом деле, общий вид линейных дифференциальных операторов Есть тори Для ~ Где Ј, &, r \ k — любая функция переменных x \, x2j … к, 1 к, 1 к, 1 к, 1 И разница между этими работами Ад-ад = E / s, / Опять же, есть операторы, которые включают только одну производную.
Следовательно, левая часть равенства (42.14) Отменяет все условия со второй производной / друг от друга. И то же самое явно верно для функции g, Для и / g все выражение также исчезает. Важной характеристикой скобки Пуассона является / А g — два интеграла движения и скобки, состоящие из них Это также важный элемент движения {fg} = const (42.15) (Так называемая теорема Пуассона).
Доказательство этой теоремы очень просто, если / и g — нет. Явно зависит от времени. Поместите личность Якоби h = H Мы получаем {H {fg}} + + {g {Hf}} = 0 Это потому, что {H {fg}} = 0, когда {Hg} = 0 и {Hf} = 0, Должно было быть доказано.
Если интеграл движений f и g явно зависит от времени, Может быть описано на основе (42.1) jtm = + t t- Заменить скобку {H {fg}}, используя формулу (42.10) Два других, с помощью личности Якоби, = {! *} + {/ |} — {/ №}} — s t] = = {% + M и} + {/, | + no>} или <42-16> Доказательство теоремы Пуассона в общем случае очевидно.
Конечно, при применении теоремы Пуассона всегда Получать новые интегралы движения, как правило, из этих чисел Ограниченный (25–1, с — количество степеней свободы). В некоторых случаях вы можете получить тривиальные результаты-скобки Пуассон уменьшается постоянно.
В других случаях вновь полученный интеграл может быть просто функцией начального интеграла от / и g. Если ни один из случаев не возникает, скобка Пуассона дает новый интеграл движения. Задание 1. Определить скобку Пуассона, состоящую из декартовых составляющих импульса материальной частицы p и момента импульса M = [g].
Решения. Используя уравнение (42.12) {МхРу} = УРz-zpy) = -pz Точно так же еще два выражения {Mhrh} = 0, {Mxpz} = ru. Остальные скобки получаются из этого путем циклической перестановки индексов x, y, z. 2. Определите скобку Пуассона, состоящую из M компонентов.
Решения. Прямой расчет по уравнению (42.5) {MHMU} = -Mz, {MyMz} = -Mx, {MZMX} = -Мой. Поскольку импульс и координаты различных частиц не зависят друг от друга, легко видеть, что уравнения, полученные в задачах 1 и 2, справедливы для полного импульса и импульса.
Любая система частиц. 3. Покажите это {<pM,} = 0, Где (p — скалярная функция координат частицы и импульса. Решения. Скалярные функции могут зависеть только от компонентов векторов r и p в комбинации r2, p2 и gr. так <9sr _ <9sr 0 dip _ dG “’r + dfcrjp Кроме того, q (r / др.
Аналогичным образом, требуемое соотношение проверяется прямым вычислением в соответствии с уравнением (42.5) с учетом показанных правил дифференцирования. 4. Покажите это {tMz} = {фн}, Где f — координата частицы и вектор-функция импульса, а n — единичный вектор оси z.
Решения. Произвольный вектор f (r, p) можно записать в виде f = rcpi + pcr2 + [gr] cfz. Где cpi, f2 и fz — скалярные функции. полученный Связь проверяется прямым расчетом по уравнению (42.9). Уравнения, показанные в (42.11), (42.12) и задаче 3
Смотрите также:
| Уравнения Гамильтона в физике | Действие как функция координат в физике |
| Функция Рауса в физике | Принцип Мопертюи в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
