Оглавление:
Сходимость рядов Фурье в точке
Сходимость рядов Фурье в точке. В этом подразделе мы рассмотрим 2-ю периодическую функцию, которая абсолютно интегрируема на отрезках длины и длины, которые имеют только точки разрыва 1-го Class. As в результате каждая точка x0 численного натурального po имеет односторонний предел. ФМ Ф((Х + + 1)= ф(х0 + 0), ФМ [(х0-Е)= Ф(.0-0). Н ► {-0 Д » (-0 Определение 8 (Le Begu * 1).Точка x0 называется нормальной точкой функции I. / .. \? 。 х.) + 0)+ /(х0-б） 1-2 ′ Очевидно, что каждая точка непрерывности функции является ее обычной точкой. * «А. Л. Лебег(1875-1941) французский математик. § 55.Тригонометрический ряд Фурье 358. если x0-разрыв 1-го класса функции/, то по его однопериодной [I (x) и / 1 (x), где Пределы K (x) = 1±Met-H)-((x + 0） 7 А + 0 Л -РН о г(х-к) ） К / 1(х)= Хм А + 0 (см.§ 9.1).
Если функция непрерывна в точке x, то определение односторонней производной, сформулированное выше, будет совпадать с ранее упомянутыми данными Людмила Фирмаль
- Для удобства формулировки теоремы сходимости рядов Фурье введем обозначение ＃（9-7（* + ）+ / {-0-/（* + 0）-/ * −0） （55.22） Очевидно, что в нормальной точке x функция A (() имеет вид П (*) = РХ + *)+ НХ-1)-2 пикселя). Необходима следующая простая Лемма. \ В0 \ （ (И о б ^ я、 И затем ？\%Т \ Около 2 Яп| м (55.23） Лемма 5.Для 2n периодических функций / интегралов, которые могут быть полностью интегрированы в интервале длины 2 Сходятся или расходятся одновременно. Proof. In факт, любой b, 0 6 i Функция непрерывна и, следовательно, интегрируема g. сегмент Anu[b, i].Поскольку функция A (I) (где X фиксирован) полностью интегрируема на этом интервале、 / (Я） Знания… может быть полностью интегрирован с сегментами[b, i].2 55.1 2 Любой b, 0 b i, Интеграл / м (55.24） 6 2 81р Сходится(см. лемму 33.5 2). выберите δ0, и в интервале[0, δ]функция [x (0) не имеет сингулярности (см.§ 55.1), за исключением некоторых случаев точка^ = 0, то есть ε 0 e 6 была интегрируемой по Риману в интервале [e, b].
- Предположение об абсолютной интегрируемости функции. 55.4.Сходимость рядов Фурье в некоторой точке 359. Она и, следовательно, число функций/ / особенностей ограничено(см. 55.1). ((0 {(О Где функции и являются 2ypT 2.〜 Золото = 1; Так, по критерию сходимости Интеграла, который называется критерием сравнения (см. Результат теоремы 33.3 1), он применяется к абсолютному значению рассматриваемой функции, а Интеграл ！% (2 51p позволяют вести съемку быстро〜 К ней. •Я Сходятся или расходятся одновременно. Для сходимости интегралов. ral (55.24) и integral (55.23) также будут сходиться или расходиться одновременно. Ноль Теорема 4 (критерий Дини). /Это функция периода 2n, которая может быть полностью интегрирована в интервал длины 2N. \ ПСЧ ^ О И затем (55.25 )） Тогда, если x-непрерывная точка или разрыв типа 1, b, 0b i, то Интеграл Сходятся и сходятся к значению в точке x[ряд Фурье функции (55.26） /(* + 0)+ /(x-0) 2.
Последствия 1.Если выполнены условия теоремы, то в обычных точках функции/(в частности, во всех точках ее непрерывности) ряд Фурье этой функции сходится к значению рассматриваемой точки. Последствия 2. Если / это 2n-периодная функция, которая может быть абсолютно интегрируемой на интервале и точке x длины 2n!(X {-0).} (x-0), f ’(x) и/ 1 (x), то ряд Фурье функции сходится к значению (55.26) в этой точке. Последствия 3.Интервал [l, l]в кусочно-непрерывной дифференцируемой функции ряда Фурье [в каждой точке интервала (-1, l) сходится к значению (55.26) и сходится к значению в точках x = l и x-l (55.27） /(-я + 0)+) (Я-0） Два $ 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста шестьдесят Серия 4. (ı, ı), из точек x = i и x = n(55.27 ） Доказательство теоремы.
Ряд Фурье непрерывной кусочно-дифференциальной функции интервала [i, n] сходится к значению функции в этой точке в любой точке интервала. Людмила Фирмаль
- С формулами (55.18) и (55.16)、 С / ■А /(* + 0)+! (х-0） ■И 1л /)2 = ’■\параметр1(х + *)+ НХ-0] м-у * ^ 2Д ^ 2Н Около 6 Я = А,(1) [[(х + 1)+ НХ-с -!(Х + 0)-{(х-0)] сі = «5T7L’ 8] p («+^»»’55-28） о * 5ш 2 Сходится Интеграл(55.25).Тогда, согласно Лемме 5, Интеграл также сходится ФА、 C \ PI） Другими словами, функция /Программное обеспечение Полностью интегрирован на сегментах [0,я].Следовательно, согласно теореме Римана (см.§ 55.2） /Программное обеспечение Золото п ►СО И затем н 3.Я о 2 ГГ Т、81P (n + 1 H = 0、 0 2 81P-D Поэтому спасибо (55.28). Следствие 1 следует непосредственно из теоремы путем определения нормальной точки функции. Согласно теореме 4, достаточно указать, что интеграл (x-0), если существует предел f (xH-0), ((x-0) и однопроизводная [’(x), (x), (x), то Интеграл (55.25) сходится. Золото /-.о /Но、 ^Золото Г Обо мне ！ (х + 1)-{(х + 0), ф (0-СХ-0） Я Я ] = Вт-ГБО）、 Телец δ0.Во-первых, из за наличия конечного prsd’La функция-ограничена окрестностью точки r = 1. Следовательно, b, потому что есть 0, 6 i.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
