Оглавление:
Скалярные и векторные поля. Определения
Скалярные и векторные поля. Определения. Вместо термина «числовая функция точки» используется «векторная функция точки», эквивалентная им. Скалярное поле, векторное поле. Используя этот термин, например, можно сказать, что все скалярные поля U-u (M), определенные и дифференцируемые в определенной области O, производят векторные поля градиентов(§ 20.6 и§ 50.5 p).Видеть 245). (М) Гэдди. Определение 1.Учитывая векторное поле a = a (M) с областью O), и предположим, что существует функция U = u (M), определенная с O, чтобы быть η(44)=гас1а ()).Тогда функция u (M) называется скрытой функцией, или возможностью заданного векторного поля* \ Введение в знак Набура, V= / ^ + / ^ +（§ 20.7 вы можете написать свой собственный код (см. 1 * gas1 ″ = ^и.
Этот термин подчеркивает, что значение рассматриваемой функции зависит не от координат при выборе 1 или другой системы координат, а от точки пространства (где эти функции определены). Людмила Фирмаль
- Здесь правая сторона является «произведением» символьного вектора nabla, который содержит числовые функции. Например, Пусть E (M) электрическое поле, создаваемое одним отрицательным зарядом, помещенным в начало координат. Тогда в точке M(y, x, r) вектор E (M), как известно в физике, имеет длину 1 / r2 и равен r=] / x2 + y%+ r2 и направлен из точки M в origin. It следует | * gas1 и (u = E (M)), поэтому потенциал рассматриваемого электрического поля, то есть функция u (A4)= 1 / r, также является потенциалом в указанном выше смысле. Снова рассмотрим векторное поле a = a (M), определенное в определенной области O. фиксируя систему координат, можно предположить, что векторная функция a(M) является функцией 3 переменных-координат точек M, x, y, r. a = a (x, y, d).
Этот раздел учитывает только плоскость O или 3-мерную область для простоты. ** ’В приложении возможности определяются по формуле a = ■ = dgab и. 52.Скалярные и векторные поля 274. Предположим, что нам даны M0 =(x0, y0, r0) eC и единичный вектор e =(co8a, co8 p, co8y). проведите линию через точку в направлении e. х = х0-ИСО $, р / = р / 0-iso8 п 2 = 20 + * со $ г、 ω^ + ОО. Определение 2.Производная векторной функции Н(х0-Iso8a, г—1 КГУ, Р0 + ^ со 8У） 1 = 0 относительно I (если таковая имеется) называется производной векторной функции a (M) в направлении e в точке M0 и обозначается да. Через =-^ а(х0 + Ио&а, р / 0 + * cO8p, Р0 + 1C08 г)|, _0. По правилам производной сложной функции, которая опускает обозначение аргумента для упрощения、 Да, да, да, да. Да / SG1 ^ = ^0808а+ +0808р + + жс08 ^ (52.1） предполагая eU = co8a + co8 p + cos («скалярное произведение» вектора e и символьного вектора V), перепишите выражение (52.1) в следующий вид: Да, м, ч * р =(^) есть.
- Определение 3. если b =(bx, by, br) является произвольным (не обязательно унитарным) фиксированным вектором, то вектор / ИС \»и да, да. Да. Нет) a = bxW + bY ^ + b ^ Он называется градиентом вектора a по вектору th. если b = b0, где| d® / = 1, » преобразование формата»、 (б? а = (^БВ) = б(б^) = б〜. Обратившись к координатной системе счисления, легко непосредственно проверить правильность полученной формулы и указать, что символ V можно рассматривать как реальный вектор в вычислении. Конечно, V также означает определенную дифференциальную операцию. Здесь мы не будем обсуждать законность такого»преобразования формата с символом V».Конечно, выражение, которое вы получаете таким образом, можно получить без использования символа V, как обычно 52.1.Определение 275. Вывод, основанный на координатах.
Вернемся снова к исходному векторному полю a =(ax, ay, ar) в области O. Определение 4.It дифференцирует поле a (ax, ay, ar) в некоторой точке. Число-f—^называется расхождением полей В этот момент он показан на рисунке cCua. In другие слова、 =Ж+ б +&(52-2)） Символично, что cpua можно охарактеризовать как скалярное произведение символом V и вектора А. (МСА = В＃ Определение 5.Вектор с координатами (52.3） yes2 Дау дах дах дах Дау ду ДГ ДГ ДХ’ ДХ Векторное поле называется вихрем или Ротором а-а (м), вперед! один. / год Тогда\ a-ухо= А. А. ЦОР делать ДГ (52.4） Символ V позволяет описать Ротор в виде следующего векторного произведения: О, да. геометрический и физический смысл cpua и вперед! Но это будет раскрыто в будущем.
Однако имейте в виду, что использование символа V часто приводит к очень значительному сокращению вычислений. Людмила Фирмаль
- Показан пример преобразования формата с использованием символа V. После символа V есть несколько термов, один из которых действует как производный оператор, а другой 1, если его нет, то для наглядности этот терм обозначается вертикальной стрелкой. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере. Если /является скалярным полем и векторным полем、 go1 / в = Х / а = GX в / А + х / а = = /(Ва)+ ^ / га)= / go1a-Б§А3 / га). Вот некоторые определения, относящиеся к области o векторного поля a {ax, ay, ar). Определение 6. пусть y-замкнутая кусочно-гладкая кривая области O ^ аааа—АУ c1y + АР c1r. В § 52.Скалярные и векторные поля 276. Называется циркуляцией вектора n.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
