Оглавление:
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Пусть задана декартова прямоугольная система координат в пространстве. Введем в рассмотрение единичные векторы 
координатных осей. Тогда всякий вектор 
, где 
— проекции вектора 
на соответствующие координатные оси. На основании теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда заключаем: 
— длина вектора.
Скалярное произведение
Доказательство следует из определения скалярного произведения.
Теорема. Скалярное произведение двух векторов 
и 
выражается формулой: 
.
Доказательство. Из определения скалярного произведения двух векторов имеем:
По условию теоремы имеем:
Тогда по свойству 3):
Из таблицы, приведенной вначале теоремы, заключаем:
Следствие 1. Косинус угла между двумя векторами определяется формулой
Следствие 2. Два вектора и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, если 
.
Пусть имеется тройка упорядоченных векторов 
, 
, 
, которые некомпланарны и приложены в одной точке. Будем смотреть с конца вектора на векторы и . Если кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, то тройка называется правой, если — по часовой стрелке, то тройка называется левой. Будем пользоваться правыми декартовыми системами координат .
Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением двух векторов и называется вектор 
, который удовлетворяет следующим свойствам:
1) 
— угол между векторами и ;
2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;
3) тройки (, , ) и () являются тройками одной ориентации.
Свойства векторного произведения двух векторов:
Доказательство следует из определения векторного произведения.
Теорема. Векторное произведение двух векторов ; выражается формулой:
Формула в теореме символически записывается следующим образом:
Следствие 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле
Следствие 4. Площадь треугольника 
определяется формулой
Задача №22.
Вычислить площадь , если 
Решение:
Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора 
. Их смешенным произведением
называется число .
Теорема. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком плюс, если тройка — правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая.
Теорема. Смешанное произведение трех векторов: , 
, 
определяется по формуле
Задача №23.
Даны векторы 
. Найти их скалярное, векторное произведения и угол между ними.
Решение:
Скалярное произведение 
Векторное произведение векторов :
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Векторы и операции над ними задачи с решением |
| Плоскость и прямая в пространстве задача с решением |
| Кривые линии второго порядка задачи с решением |
| Числовые последовательности задачи с решением |
