Оглавление:
Симметрические системы
Будем рассматривать системы вида
где 
и 
— многочлены, которые не изменяются при замене 
на 
, а на . Такие системы называются симметрическими. Простейшей системой этого типа является система
Используя теорему Виета, можно доказать, что система (1) и квадратное уравнение
связаны следующим образом: если 
и 
— корни квадратного уравнения (2), то система (1) имеет решения 
и 
и не имеет других решений. Обратно, если 
— решение системы (1), то 
и 
— корни уравнения (2).
Например, система
имеет два решения 
и 
, так как уравнение 
имеет два корня 
Многочлены 
и 
в левых частях уравнений системы (1) являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен от и можно представить в виде многочлена от 
и 
, где 
При решении симметрических систем часто приходится выражать через и многочлены вида
Суммы 
выражаются через 
следующим образом:
Формулы (3)-(6) можно легко получить самостоятельно. Докажем формулу
позволяющую последовательно выразить через и суммы 
и т.д. Для этого заметим, что
откуда и следует равенство (7).
Пример №174.
Решить систему уравнений
Решение:
Это — симметрическая система. Полагая 
и используя формулы (3), (5), запишем ее в виде
Исключая из этой системы 
, получаем
или 
откуда 
Следовательно, исходная система равносильна совокупности двух систем
Ответ. 
Пример №175.
Решить систему уравнений
Решение:
Воспользуемся формулами (3), (4), (6). Тогда система примет вид
Так как 
(при 
второе уравнение системы теряет смысл), то, разделив числитель и знаменатель дроби на и исключая из системы , преобразуем второе уравнение к виду 
откуда 
Если 
то 
а если 
то 
Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих четырех систем:
Первая система имеет решения 
и 
вторая — решения 
и 
третья и четвертая системы не имеют действительных решений.
Ответ. 
Замечание. К системе симметрических уравнений иногда бывает удобно свести иррациональное уравнение. Например, при решении уравнения
ввести вспомогательные неизвестные 
и мы получим систему
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
