Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества.

Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества.

• Счетное и несчетное множество. Сегмент Nascenti[0,11 — мощность множества. Важным вопросом при изучении множеств является вопрос о том, как сравнивать два множества, ссылаясь на»количество»содержащихся в них элементов. Кроме того, каждый из них содержит ограниченное количество элементов, и тогда элементы этих наборов могут занимать длительное время. В этом случае первый и второй наборы могут содержать одинаковое

количество элементов. Назовем такие два множества, содержащие конечное и равное числу элементов, ek b и b a l e n t n y-m and. Если какое-либо из множества рассматриваемых элементов окажется больше, то оно будет иметь»m o n o s t», которое больше, чем другое множество рассматриваемого множества. Теперь, в общем, обратимся к множеству, состоящему из бесконечного числа элементов.

Примером такого множества является множество рациональных Людмила Фирмаль

чисел или множество вещественных чисел в отрезке[0,1]. Если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждый элемент AE^a заполняет один элемент B^B, и каждый элемент b^b сопоставляется с некоторым элементом AEL, то различные элементы множества A. Взаимно однозначное соответствие может быть названо Б и эк ти в ным с о т в Т Е М. В частности, множество, содержащее конечное число элементов, эквивалентно только в том случае, если

оно содержит одинаковое число элементов. Равенство множеств A и B выражается следующим образом: Мы, например, что поставили/? = Рациональное{g}и множество натуральных чисел I={n}эквивалентны. Сначала будь осторожен.Для любого целого/?=L0 два рациональных числа t / n и IGK / PK одинаковы(здесь p»L=0). Так может ли любое рациональное число g быть записано как g=-(y>0)? Семь А дробь считается неприводимой. Число 0 считается записанным в одном направлении: 0= — y-. Назовем число N=\R+y высотой рационального числа p/d. Понятно, что рациональное число g с заданной высотой

• является конечным числом. Мы нумеруем натуральные числа 1, 2, 3…. То есть мы сначала пронумеруем все рациональные числа высоты L=1. Это число только одно: 0. Этому рациональному числу присваивается индекс 1.. Давайте поставим его в соответствии с натуральным числом 1. Затем подсчитайте рациональное число высоты y=2. 1= — » 62Chapter2. Действительное число — И 1= — р -. К первому мы относим натуральное число 2 (то есть пронумеруем его индексом 2) к третьему. Затем подсчитайте рациональное число, такое как высота 3. В этом случае очевидно установить взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми целыми положительными числами. Вводится понятие счетных множеств. О п р ЕД ел и Е1. Набор называется счетом, если он

соответствует набору натуральных чисел. Согласно этому определению и рассуждениям, сделанным выше, можно видеть, что множество рациональных чисел являетсясчетным множеством. Следующие два простых описания доказаны для счетных множеств. У ТВ ЕР ж д Ен и я Е1. Все непустые подмножества счетных множеств являются либо множествами, состоящими из конечных чисел элементов, либо счетными множествами. Д О К а з а т е л ь с Т В О. Пусть а-исходное счетное множество, то есть — n-множество натуральных чисел. Это означает, что элементы множества A могут быть каким-то образом пронумерованы.

‘Расположите элементы множества A в виде последовательности:» 1, AG,—, a. p,…. Пусть B-непустое подмножество множества A. Рассмотрим Людмила Фирмаль

последовательно элементы Y1, YAG, » z—set_l. В случае A^B этот элемент представлен BP, а в случае a^B передайте его на рассмотрение элемента A2. Рассматривая элемент A2, можно представить следующие две возможности: а) элемент A2^B;если это сделано, то как A^B;次に要素A2からSをB2で表etc.it понятно, что бывает так, что все элементы множества B расположены в виде конечной последовательности: B\, B2……. БМ(М<ОО). В этом случае множество Bсостоит из конечного числа элементов. Если этого не происходит, то мы записываем все элементы множества B как бесконечную последовательность элементов 61, B2…, КРОВЯНОЕ ДАВЛЕНИЕ.,..

Оттуда, вы можете видеть, что множество счетно. Это утверждение доказано. У ТВ ЕР Ж Д Е Н и Е2. Сумма любого конечного или Счетного множества счетных множеств является счетным множеством. Д О К а з а т е л ь с т в о. Например, » допустим, у вас есть счетное множество счетных множеств. Л А2, 3… — Множество множеств, каждое из которых счетно. Положим элементы множества A\, A2, L3,… В виде последовательности:§7. Элементы теории множеств 6E Пусть A = AP. Нумерация элементов、- L=1 ства L={a) следующим образом*: * Запись всех элементов набора Di AG….. Стрелка наверху? Указывает порядок, в котором выполняется нумерация. 01=011, O2=O21, oz=O12, O4=O31, o5=o2 2, O6=O13 и т. д Некоторые наборы A и/могут иметь общие

элементы (для»= / 7). В данном случае мы рассматриваем их только один раз. Таким образом, элементы множества A могут быть пронумерованы, то есть взаимно однозначное соответствие множеству натуральных чисел N. Это утверждение доказано. Возникает вопрос: много ли бесконечного несчетного? Нельзя ли положить в набор натуральных чисел и взаимно однозначное соответствие такое бесконечное множество? Ответ содержится в теореме, доказанной ниже. 2.2. Множество всех точек в отрезке[O, 1] не распознано. Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим интервал(О, 1). Ясно, что если мы докажем, что интервал (0,1) не распознан, то

отрезок[O, 1]множества точек[O, 1]отличается от множества точек в интервале (0,1), поэтому отрезок-[O, 1]доказывает, что множество точек в интервале (O, 1) поэтому не является действительным. То есть предположим, что все вещественные числа в интервале (O, 1) могут быть пронумерованы. Запишите все числа в интервале•(O, 1) как бесконечность: десятичные дроби, мы получим его Х1=0,011012… Дядя. . Х2=0, О2 1O22… ■ ■ О2п■, ХП-0,(1П\^ Р2•• * & ПП , Рассмотрим интервал (0,1) вещественного x=0, B1H2… … СТР…,Где B\ — любые числа, отличные от OC, 0 и 9; yubaya цифры, отличные от B2-l * O22, 0 и 9; etc.;Любые числа, кроме BP-OC, 0 и 9. X2, где достаточно доказать, что число x не совпадает ни с одним числом X…И HP…. Это число не относится к классу RA — <64Chapter2. Действительное число

Количество зон, представленных двумя способами как бесконечное число. В этом случае число x допускает одно выражение в виде бесконечно малого числа, отличающегося от всех чисел XG, % 2,%n,■■. Chis-.La x с любым числом CPS подразумевает совпадение между BP и app-следовательно, интервал (0,1) и в то же время сегмент[0, 1]не распознан. Теорема доказана. О п р Эд Эл эн и Е2. Множество *, соответствующее множеству точек на отрезке[0,1], называется множеством точек nost и cont u m a. * Значение t (L), являющееся

общей характеристикой класса всех множеств, соответствующих множеству A, называется K a R d и n a l L n s m h и s l O m. в частности, если A состоит из конечного числа элементов, то t (a) равно числу элементов этого множества. Из доказанной теоремы 2.2 было установлено, что степенное множество и счетное множество континуума не являются равными множествами. В частности, теорема 2.2 подразумевает существование иррационального числа,

поскольку не все цифры, которые уже находятся на отрезке[0,1], рациональны. Кроме того, из теоремы 2.2 иррациональные числа не учитываются, поэтому, если они являются множеством или конечным числом, то 2 и все числа-рациональные и иррациональные-учитываются. Если эти множества эквивалентны, вы бы сказали, что у них есть O d и K o V u m o n или RA V n O m o m o I. Для обозначения равенства множеств A и B используйте следующие символы:PG (A)=t(B). Если множество a эквивалентно некоторому подмножеству множества B, а множество A не содержит эквивалентного подмножества множества B, то степень m равна

степени b. Чтобы указать, что мощность множества A меньше мощности B, используется следующий символизм: PG (A)<t (B). Например, из определения приведенного выше континуального множества сил, из утверждения теоремы 2.2 и Счетного множества 1 видно, что сила Счетного множества меньше силы отрезочного множества[0,1]. Итак, мы ввели два набора сравнения сил. Логически возможны еще два случая:§7. Элемент теории множеств 65 a) множество A содержит подмножество, соответствующее множеству B,а множество B содержит подмножество, соответствующее множеству B. b) множества A и B не эквивалентны, ни В случае A) нетрудно доказать, что множество A и множество B эквивалентны. Случай б) фактически невозможен.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Понятие множества	Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
Операции над множествами	Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.