Оглавление:
Счетные и несчетные множества
Счетные и несчетные множества. Возникает естественный вопрос. Содержит ли каждое бесконечное множество одинаковое количество элементов или бесконечность отличается? Прежде всего, мы видим, что непостижимо, что термин»число элементов равно» означает для бесконечного множества. Сравнения бесконечных множеств по числу элементов, которые они содержат, или, как они говорят, сравнения по их степеням удобно проводить, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами множества (см.§ 1.2).Определение 17.Если между элементами может быть установлено соответствие 1 к 1, то 2 множества называются эквипотенциалами. С этой точки зрения натуральные числа 1, 2,…северный.,..Набор четных чисел 2 и 4,…The 2n… It образует равный набор, но на первый взгляд последний выглядит как половинка.
В некотором смысле счетные множества являются простейшими бесконечными множествами. Людмила Фирмаль
- Если натуральному числу n присвоено число 2n, то получается требуемое соответствие от 1 до 1.n= 1, 2,…. Четные числа являются частью множества натуральных чисел, но эти множества равны powerful. So для бесконечного множества часть будет равна целому в нашем смысле. Определение 18.Множество, равное множеству всех натуральных чисел, называется счетным. Итак, если X счетно, вы можете установить соответствие 1-к-1 между множеством X и множеством натуральных чисел. Или, как говорится, можно нумеровать элементы множества X. То есть число x∈X каждого элемента означает натуральное число, соответствующее ему по указанному соответствию. То есть выполняется следующая Лемма. Лемма 1.Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство. Конечно, это делает X бесконечным множеством. Возьмите несколько его элементов и обозначьте через x. в связи с тем, что X-бесконечное множество, существует по крайней мере 1 элемент, который явно отличается от элемента x. Выберите один из этих элементов и укажите с помощью x2. Элемент Х,…предположим, что xn уже выбрано в множестве X. Поскольку X-бесконечное множество, оно, конечно, содержит другие элементы. Выберите один из оставшихся элементов и обозначьте его через xn+, etc. As в результате элементы xn∈X, n = 1, 2,…Получаем и формируем счетные подмножества множества X. Лемма 2.An бесконечное подмножество счетных множеств является счетным. Доказательство. Пусть X-счетное множество, и элемент может быть пронумерован снова. Х = {а, А2,…а, Ан,…}.
- Пусть-число p является бесконечным подмножеством множества X. B =up. по b2 он представляет собой 1 из элементов an, которые принадлежат множеству Y и имеют наименьшее число среди числа n Po. Тогда, поскольку конечное число шагов обозначается bm, а множество V бесконечно, индекс m может иметь любые значения 1, 2, 3,…Возьми его с собой. Таким образом, все элементы множества окаж имеют натуральное число M = 1, 2,…это означает, что множество является является счетным множеством. Я не уверен. Следующая теорема дает интересный пример Счетного множества. Теорема 7. Доказательство. Организуйте рациональные числа в таблице следующим образом: в первой строке все целые числа располагаются в порядке возрастания абсолютного значения так, чтобы для каждого натурального числа было установлено противоположное значение.
В строке 2 все неприводимые рациональные дроби упорядочиваются по абсолютному значению в знаменателе 2, а затем реверсируются для каждого положительного числа again. In вообще, на 5-й строке расположите все неприводимые рациональные дроби со знаменателем n, упорядочив их по абсолютному значению так, чтобы после каждого положительного числа получалось обратное come. As в результате вы получите таблицу с бесконечным количеством строк и столбцов. Очевидно, что все рациональные числа попадают куда-то в эту таблицу. Нумеруйте элементы результирующей таблицы по следующей схеме(номера соответствующих элементов расположены по кругу, а стрелки указывают направление нумерации). В результате все рациональные числа нумеруются.
Множество всех рациональных чисел является счетным. Людмила Фирмаль
- То есть, набор рациональных чисел может быть подсчитан. Возникает естественный вопрос. Но существует ли бесконечное множество, которое нельзя сосчитать? Да, они существуют и, конечно, называются счетными sets. An важный пример нерасчетливого множества устанавливается следующими теоремами: Теорема 8 (теорема Кантора).Не все наборы действительных чисел могут быть подсчитаны. Доказательство. Скажем так opposite. So что все реальные числа могут быть пронумерованы. х, Х2,…на хп…; Запишите их с допустимым десятичным числом. Другой признак. Числа an, n = 1, 2,…Вы также можете использовать следующие параметры: ^ а(н а^ ^ 9.
Смотрите также:
