Самосопряженные операторы. Основные свойства

Самосопряженные операторы. Основные свойства

• Самосопряженный оператор. Основные свойства. Определение 2. Линейный оператор A из L (V, V) называется Самосопряженный, если выполняется уравнение A * = A. Вещественный самосопряженный оператор определяет Это похоже.

• Простейший пример самосопряженного оператора. Оператор тождественности I присоединенного оператора (см. Свойство 1 °) В предыдущем абзаце). Использование самосопряженного оператора делает его особенным Общее представление любого линейного оператора. просто Следующее предложение верно. Теорема 5.13.

Линейный оператор, действующий на A. Людмила Фирмаль

Комплексное евклидово пространство V. Ar = Ar + iAj, где Ar и A / являются самосвязанными Факторы называются действительными и мнимыми числами соответственно Оператор А Доказательство. 2 °), 3 °), 4 °) в зависимости от объекта Оператор (см. Параграф перед этим разделом) Ar = (A + A *) / 2 и A / = (A-A *) / 2r являются самосвязанными. Очевидно, A = Ar + rA /. Теорема доказана.

Следующая теорема раскрывает самосопряженное условие Продукт самосопряженных операторов. Сказал бы Если AB = B A, операторы A и B коммутируют. Теорема 5.14. Потому что продукт AB сам включается Операторы A и B являются операторами самостоятельного соединения, Достаточно для них, чтобы добраться Доказательство.

Поскольку A и B являются операторами самостоятельного соединения И сопряженный оператор в соответствии с характеристикой 5 ° (см. Этот подраздел 1) Параграф), отношения (AB) * = B * A * = VA. E.52) Так что если AB = BA, (AB) * = AB, то есть оператор Торус А.Б. AB — самосопряженный оператор Радиатор, тогда AB = (AB) * и E.52), AB = VA. Теорема доказана.

• В дальнейших теоремах некоторые важные свойства Сопряженный оператор. Теорема 5.15. Если оператор A является самоприсоединяющимся, Скалярное произведение x∈V (Ax, x) является действительным числом. Доказательство. Справедливость описания теоремы заключается в следующем. Из следующих свойств сложных скалярных произведений Евклидово пространство (Ax, x) = (x, Ax) и определение самосогласования.

Женатый оператор (Ax, x) = (x, Ax) 9). Теорема 5.16. Собственное значение самоопределяющейся оперы Тори настоящая. Доказательство. Пусть Λ — собственное значение Оператор А. По определению собственного значения операнда A (см. Определение 2§3 в этой главе) отличен от нуля.

Из этого соотношения вектор x такой, что Ax = Lx. Людмила Фирмаль

Вещественное скалярное произведение (Ax, x) действительных чисел (согласно теореме 5.15) Представлено как (Ax, x) = A (x, x) = A || x || 10). После || x || и (Ax, x) действительные числа, ясно A Реальное число Теорема доказана. В следующей теореме ортогональное свойство Вектор самосопряженных операторов. Теорема 5.17.

Если A является самосопряженным оператором, Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям Этот оператор ортогональн. Доказательство. Пусть Ai и A2 — разные собственные значения. Значение самосопряженного оператора A (AiфAr), а xi и X2 соответствуют.

Помните об этом, если комплексное число равно его сопряженному Число является действительным числом. 10) Символ || x || обозначает норму элемента x. Их соответствующие собственные векторы. Тогда соответствующий Я ношу Axi = AiXi, Ax2 = A2X2.

Следовательно, скалярное произведение i, X2) и (xi, AX2) каждый равен (Ax x2) = Ai (xb x2), (xx Ax2) = A2 (xb x2) n). Поскольку оператор A является самосопряженным, скалярное произведение i, X2) и (xi, AX2) равны, поэтому из последнего отношения Получить равенство вычитанием (A2-Ai) (xbx2) = 0 Поскольку A2ΦAi, из последнего уравнения Потеря скалярного произведения (xi, x2), т.е. свойства ортогональности Вектор XI и X2. Теорема доказана.

Смотрите также:

• Решение задач по линейной алгебре

Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм	Норма линейного оператора
Понятие сопряженного оператора	Дальнейшие свойства самосопряженных операторов