Ряды Тейлора и Маклорена
Для приложений важно уметь данную функцию 
разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.
Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции , определенной в окрестности точки 
и имеющей в ней производные до 
-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
где 
, — остаточный член в форме Лагранжа. Число 
можно записать в виде 
, где 
. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде
где 
— многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член 
стремится к нулю при 
( 
), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням (
), называемое рядом Тейлора:
Если в ряде Тейлора положить 
, то получим разложение функции по степеням 
в так называемый ряд Маклорена:
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция
имеет в точке 
производные всех порядков, причем 
при всяком 
(см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид
Он сходится, но его сумма 
в любой точке равна нулю, а не .
Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.
Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции сходился к в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при , т. е. чтобы .
Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции в некоторой окрестности точки , т. е. 
. Так как -я частичная сумма 
ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора 
, т. е. 
, находим:
Обратно, пусть . Тогда
Замечание.. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции , то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. 
. (Напомним, что 
, а 
, где — сумма ряда Тейлора.)
Таким образом, задача разложения функции в степенной ряд сведена по существу к определению значений , при которых 
(при ). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции и ряд Тейлора.
Теорема 64.2. Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом 
, то для любого из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место разложение (64.2).
Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что . По условию теоремы 64.2 для любого имеет место неравенство 
. Тогда имеем:
Осталось показать, что 
. Для этого рассмотрим ряд
Так как
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,
Следовательно, .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Сходимость степенных рядов |
| Свойства степенных рядов |
| Периодические функции. Периодические процессы |
| Разложение в ряд фурье периодических функций с периодом 2п |
