Оглавление:
Ряды с неотрицательными членами
Ряды с неотрицательными членами. На этом этапе мы изучаем ряд, где все члены являются неотрицательными вещественными числами. Лемма 1.Сделайте все члены ряда (35.1) неотрицательными. un ^ 0, n = 1, 2(35.14） Для того, чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно иметь по крайней мере 1 сходящуюся подпоследовательность подпоследовательности подпоследовательности. Фактически, условие (35.14) является、 л + 1 ®Л+ Х = ци = ^ я + 1 к = 1 То есть последовательность{$»}частичных итогов рассматриваемого ряда увеличивается. (см. комментарий после теоремы 3.5 3). Тс Лемма 2.In для того чтобы ряд (35.1) сходился в неотрицательных терминах, его частичная сумма последовательности ограничена выше, и по крайней мере 1 подпоследовательность| 5″ A | § 35.
Монотонная последовательность будет сходиться только в том случае, если ее по крайней мере 1 подпоследовательность сходится. Людмила Фирмаль
- Числовой ряд 554. Последовательность частичной суммы, и если 5 = 5ir {5-й} 5-это общая сумма для серии (35.1). Фактически, последовательность сходимости означает сходимость этой последовательности подпоследовательностей, и все сходящиеся последовательности ограничены вершиной, в которой particular. So первая часть леммы справедлива без предположения, что члены ряда неотрицательны. Однако в общем случае, например, ограниченное условие всех субсумм (а не только некоторых подпоследовательностей) ряда недостаточно для того, чтобы ряд сходился, как показано в Примере 35.1, 3.Поэтому условие, что член ряда не отрицателен, необходимо для выполнения 2-й части леммы 2.
- Как видно из доказательства предыдущей теоремы, неотрицательность членов ряда указывает на то, что последовательность подпоследовательностей неотрицательна. Поэтому, если есть подпоследовательность, заключенная в верхнюю часть Последовательность{5″}частичной суммы рассматриваемого ряда также не уменьшается (как и в подпоследовательности неубывающей последовательности) и, таким образом, сходится (см. теорему 3 в 3.5).、 5 = 5Cr {5nl= 1W1 8Pc. K х ^ к * ОО Согласно предыдущей Лемме, сходимость подпоследовательностей частных сумм есть сходимость ряда, то есть, Существование и ограничение конечного предела тю П + СО Последовательность сходимости соответствует пределу ее подпоследовательности, а затем NT 5 ″ =Золото 8Pk =5.Я не уверен. Н * ■С К— * с
Из леммы 2, когда ряд с неотрицательными членами расходится, его частичная сумма последовательности не ограничена выше, и из-за монотонности. Людмила Фирмаль
- Таким образом, для серии филиалов с неотрицательными членами в соответствии с соглашением, подготовленным в разделе 35.1、 ОО 2 Ия = + ОО И= 1 35.5.Символ, сравнивающий ряд с неотрицательным членом Пятьсот пятьдесят пять Доказанная Лемма внешне аналогична соответствующему утверждению неправильного интеграла (см.§ 33.3).Вы можете установить более прямую связь между сходимостью ряда с неотрицательными членами и сходимостью неправильного интеграла неотрицательного function. To уменьшите функциональность, это сделано в§ 35.7.
Смотрите также:
