Оглавление:
Решение уравнений в рациональных числах
Когда по условию задачи необходимо найти рациональные корни уравнения, возможны следующие подходы.
Во-первых, можно сначала полностью решить уравнение, найти все его корни, и лишь затем отобрать среди них рациональные. Однако следует помнить, что этот подход в некоторых случаях бывает нецелесообразен.
Во-вторых, можно целенаправленно искать только рациональные корни. Один из таких способов поиска рациональных корней у алгебраических многочленов с целыми (рациональными) коэффициентами будет рассмотрен ниже в пункте 3.3.1 раздела 3. Сейчас обратимся к примерам, в которых при решении задач, связанных с рациональными корнями уравнений, используются определение и свойства рациональных чисел.
Пример №82.
При каких целочисленных значениях параметра а корни уравнения
являются рациональными числами?
Решение:
При условии 
найдём корни этого квадратного уравнения:
. Так как по условию 
то 
Возведём последнее равенство в квадрат:
Так как 
, то возможны лишь следующие случаи:
Решая эти системы в целых числах, находим ответ: 
Пример №83.
Доказать, что уравнение 
, где 
целое, не имеет рациональных корней.
Доказательство (от противного). Предположим, что уравнение имеет рациональный корень 
, где 
. Тогда подставим его в уравнение:
1) Перепишем уравнение (1) в виде
Проведём анализ делимости. Целочисленное выражение в левой части равенства кратно m , а значит, и выражение в правой части должно делиться на m нацело: 
но отсюда следует, что 
2) Теперь перепишем уравнение (I) в виде
Аналогичными рассуждениями получим, что так как выражение в правой части равенства кратно 
то и выражение 
в левой его части делится на n нацело, а, следовательно, 
Из того, что одновременно 
и 
, заключаем, что это возможно, только если 
. Иными словами, мы показали, что если у рассматриваемого уравнения есть рациональные корни, то это могут быть только числа 
. Осталось сделать проверку.
Подставляя значение x = 1 в уравнение, получим р = 2 , что противоречит условию задачи. При : x = — 1 находим р = 0 , что также противоречит условию задачи. Следовательно, рациональных корней у уравнения нет.
Пример №84.
Найти все такие рациональные числа x и у, которые удовлетворяют уравнению
Решение:
Так как на 
обе части данного иррационального уравнения неотрицательны, то возведём уравнение в квадрат и получим равносильное уравнение
Сократим на 
и уединим единственным радикал в левой части уравнения
Записав условие неотрицательности правой части 
для сохранения равносильности преобразования, ещё раз возведём уравнение в квадрат (используя формулу квадрата суммы 4-х чисел):
Приведём полученное уравнение к виду
Заметим, что в левой части находится рациональное выражение. Выражение в скобках в правой части равенства также рационально. Известно, что произведение рационального числа 
на иррациональное 
может быть рациональным тогда и только тогда, когда 
, при этом выражение 
также должно обращаться в нуль. Таким образом, условия задачи выполняются, только если система
имеет решения. Решив систему, находим две пары 
и 
. Проверка показывает, что только первая пара удовлетворяет и условию 
Ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
