Оглавление:
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени
Справочные сведения
Метод введения вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида
Будем считать, что 
, 
(в противном случае получаем простейшее тригонометрическое уравнение вида 
или 
).
Если 
, то уравнение (1) является однородным и при равносильно уравнению 
(см. §11).
В §4 (пример 16) был изложен метод введения вспомогательного угла для преобразования выражения вида 
и было установлено, что
где 
— такой угол, что
Используя (2), запишем уравнение (1) в виде 
или
Уравнение (4) (и равносильное ему уравнение (1)) имеет корни
тогда и только тогда, когда 
т. е.
Если условие (5) выполнено, то уравнение (1) имеет следующие корни:
где 
определяется формулами (3).
Если же условие (5) не выполнено, т. е. 
, то уравнение (1) не имеет корней.
Метод замены неизвестного.
а) Замена 
Если уравнение имеет вид
то, полагая 
и учитывая, что
сведем уравнение (6) к квадратному уравнению вида
Уравнения вида
решаются аналогично с помощью подстановки 
Эта же подстановка позволяет свести к алгебраическому уравнению уравнение вида
б) Замена 
Такую замену можно применять при решении уравнений вида
которые сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям вида 
, если воспользоваться формулами удвоения аргумента
в) Замена 
Если в тригонометрическом уравнении 
левая часть является рациональной функцией от 
и 
т.е. ее можно представить в виде 
, где 
и 
— многочлены от и , то это уравнение сводится к алгебраическому уравнению относительно 
поскольку
Однако следует иметь в виду, что использование подстановки 
при решении тригонометрических уравнений часто приводит к трудной задаче нахождения корней многочлена степени 
. Поэтому указанную подстановку, как правило, применяют лишь в том случае, когда не видно других путей решения уравнения.
Отметим еще, что формулы (7) теряют смысл, если 
, т. е. если 
Поэтому при решении уравнений с помощью подстановки следует проверить, не являются ли значения 
корнями исходного уравнения.
Метод разложения на множители.
Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Этим методом можно решать уравнения следующих видов:
используя формулы разности (суммы) синусов или косинусов (см. формулы (15)-(18) из §4), а также некоторые уравнения вида
предварительно преобразовав произведения тригонометрических функций в суммы по формулам (21)—(23) из §4..
Использование формул понижения степени.
При решении тригонометрических уравнений находят широкое применение формулы понижения степени 
и 
Примеры с решениями
Пример №119.
Решить уравнение 
Решение:
Разделив обе части уравнения на 
, получим равносильное уравнение
Пусть — такой угол, что 
Так как 
, то в качестве можно взять 
или 
Получаем уравнение 
откуда 
Пример №120.
Решить уравнение 
Решение:
Это — уравнение вида (1), в котором 
Так как 
то 
и поэтому уравнение не имеет корней.
Пример №121.
Решить уравнение 
Решение:
Пусть 
тогда 
и уравнение можно записать в виде 
откуда 
Если 
то 
Это уравнение не имеет решений, так как 
и поэтому 
а его правая часть больше двух.
Если 
то получаем уравнение 
которое равносильно уравнению
Так как 
то это уравнение имеет корни, определяемые из равенства
Ответ. 
Пример №122.
Решить уравнение 
Решение:
Пусть 
тогда
и данное уравнение примет вид
или 
откуда 
Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности следующих трех уравнений
Первое уравнение, равносильное уравнению 
, имеет корни 
Второе уравнение можно записать в виде 
или 
откуда 
Аналогично, третье уравнение преобразуется к виду 
откуда 
Ответ.
Пример №123.
Решить уравнение 
Решение:
Пусть 
; тогда 
, 
и уравнение примет вид
или 
откуда получаем 
т. e. 
Уравнение 
не имеет действительных корней.
Ответ. 
Пример №124.
Решить уравнение 
Решение:
Это уравнение можно решить с помощью замены 
, записав его в виде 
, или после упрощений, в виде 
. Итак, 
, откуда 
, 
.
Замечание. Воспользовавшись равенством 
(§4, пример 4,6), можно преобразовать уравнение к виду 
или 
Пример №125.
Решить уравнение 
Решение:
Заметим, что значения 
не являются корнями исходного уравнения. Воспользуемся подстановкой 
и запишем уравнение в виде 
Так как числа 
являющиеся корнями уравнения 
, не удовлетворяют исходному уравнению, то 
. Поэтому полученное нами алгебраическое уравнение равносильно уравнению 
Преобразуем это уравнение, учитывая, что 
—его корень. Получим
откуда, т. e. 
Ответ. 
Пример №126.
Решить уравнение 
Решение:
С помощью подстановки 
уравнение приводится к алгебраическому уравнению 
, которое равносильно каждому из уравнений
откуда находим 
Если 
, то 
, 
. Если , то 
, 
, 
. Полученные серии корней можно объединить в одну: 
Ответ. 
Пример №127.
Решить уравнение 
Решение:
Пусть 
тогда 
и уравнение преобразуется к виду 
, или 
, откуда 
; т. е.
Так как уравнение 
не имеет корней, то исходное уравнение равносильно уравнению 
Ответ. 
Пример №128.
Решить уравнение
Решение:
Положим 
; тогда 
и уравнение примет вид
или
Так как корни уравнения 
содержатся среди корней уравнения 
то исходное уравнение равносильно уравнению 
, откуда 
Ответ. 
Пример №129.
Решить уравнение 
Решение:
Вынося общий множитель первого и третьего слагаемых, запишем уравнение в виде
или 
Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 
Ответ. 
Пример №130.
Решить уравнение 
Решение:
Левая и правая части уравнения имеют общий множитель 
, так как
Поэтому исходное уравнение, записанное в виде
равносильно совокупности двух уравнений:
Первое уравнение имеет корни 
Второе уравнение заменой 
приводится к уравнению
откуда 
, т.е. 
или
Если 
, то 
, а если 
, то
, откуда 
Ответ. 
Пример №131.
Решить уравнение 
Решение:
Используя формулу 
и формулу суммы косинусов, преобразуем данное уравнение:
Пример №132.
Решить уравнение 
Решение:
Преобразуя произведения тригонометрических функций в сумму (разность) с помощью формулы (21) из §4, запишем уравнение в виде
или 
Разложим левую часть этого уравнения на множители, применив формулу суммы синусов:
Так как 
, то исходное уравнение можно заменить равносильным уравнением 
Ответ.
Пример №133.
Решить уравнение
Решение:
Уравнение равносильно каждому из следующих уравнений:
Так как 
, а ОДЗ уравнения определяется условием 
, то 
, и исходное уравнение равносильно уравнению 
.
Ответ. 
Пример №134.
Решить уравнение 
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу 
суммы косинусов. Получим
Исходное уравнение равносильно каждому из уравнений
Следовательно, оно равносильно совокупности трех уравнений:
Корнями первого из них являются числа 
а корнями второго — числа 
Корни уравнения 
содержатся среди корней уравнения 
.
Ответ. 
Пример №135.
Решить уравнение
Решение:
Используя формулы 
, 
, а так же формулу суммы косинусов, последовательно преобразуем данное уравнение:
Заметим, что все корни уравнения 
содержатся среди корней уравнения 
. Действительно, если , то 
. Полагая 
, получаем 
.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений 
Ответ. 
Пример №136.
Решить уравнение
Решение:
Применяя формулы понижения степени, запишем уравнение в виде
Исходное уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :
откуда находим 
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
