Оглавление:
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
где 
. Коэффициенты 
называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
Опишем метод Гаусса подробнее
Прямой ход.
Будем считать, что элемент 
(если 
, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при 
отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на 
и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на 
и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь 
— новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом 
, исключим неизвестное 
из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 
, а 
, то это свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное 
через остальные неизвестные 
. Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем 
через ; затем находим 
. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. 
, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим 
, из предпоследнего уравнения 
, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные 
.
2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент 
был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на 
).
Пример №4.4.
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: 
. Если положить, например, 
, то найдем одно из частных решений этой системы 
.
Дополнительный Пример №4.5.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Решение систем линейных уравнений |
| Решение невырожденных линейных систем |
| Уравнения поверхности в пространстве |
| Уравнения плоскости в пространстве |
