Реологическое уравнение

Реологическое уравнение

• Для различных сплошных сред зависимость тензора напряжений от тензора скорости деформации различна. Для упругих сплошных сред тензор напряжений зависит от тензора деформации. Связь между тензором напряжений и скоростью деформации часто называют реологическим уравнением. Сформулировать реологические уравнения В тензорной форме сплошной среды, называемой жидкостью, тензор напряжений не зависит от тензора деформации. Жидкости включают обычные капельные растворы, такие как вода и газ. Примером газа является воздух при нормальных атмосферных условиях.

Каждая точка в пространстве, занимаемом движущейся жидкостью, имеет тензор напряжения P и тензор скорости деформации S. Во первых, был сформулирован и экспериментально проверен простейший частный случай зависимости компонентов этих двух тензоров, например закон тангенциального напряжения Ньютона. Эти зависимости оказались линейными. Это привело к предположению, что в общем случае наблюдается линейная зависимость. Для жидкостей эта линейная зависимость тензора напряжений от тензора деформации называется обобщенным методом Ньютона или Навье Стокса.

Так как скорости в точках М и О рассматриваются в один и тот же момент времени, то удобно выбрать начало осей координат, относительно которых изучается движение сплошной среды, в точке О. Людмила Фирмаль

Линейная зависимость между тензорами P и S для общего случая изотропных жидкостей имеет вид n = aS + bI, (29) Является ли единичный тензор. а и б скалярные коэффициенты. Поскольку предполагается, что зависимость между компонентами тензоров P и 5 является линейной, скалярный коэффициент a не должен зависеть от компонентов этих тензоров. Жидкость должна быть охарактеризована. Этот коэффициент выражается как 2c. Коэффициент с называется коэффициентом кинематической вязкости. В целом, оно может иметь разные значения в разных точках и меняться со временем.

Скалярный коэффициент b линейно зависит от компонентов тензора II и S, но только от комбинаций, которые не зависят от направления осей в рассматриваемой точке. То есть зависит от линейных инвариантов тензоров P и S. Эта зависимость (29) делает линейные инварианты в обеих частях равными. получить Pxx + Ruu + Pr2 = 2 U (exx + yy + ezz) + L3, (30) Линейный инвариант единичного тензора 10 0 = (0 10 0 0 1 Равный 3. Покажите линейный инвариант тензора S и уменьшите обозначение на ноль. Это значит Коэффициент 0 также называется относительным расширением объема. Для б, Дальнейшее преобразование включает определение статического давления или просто давления в жидкости. Для идеальных жидкостей (жидкости, не содержащие жидкости) Pxx = Pn = Pa доказано.

Абсолютное значение p этого общего отрицательного напряжения называется давлением, которое необходимо учитывать. Точка. Для вязких жидкостей нормальные напряжения pxx, ruu и rgr не равны друг другу. В этом случае естественно определить давление p как среднее арифметическое нормальных напряжений, взятых с противоположным знаком. P = ( xx + PW + Pzz) (32) Подставляя (32) для (31) дает B = p 2 3рв. (33) В этом определении давления вязкостные свойства жидкости характеризуются одним коэффициентом c. Для некоторых жидкостей этого недостаточно. Далее предполагается, что давление также линейно зависит от относительной скорости объемного расширения 0. P = ~ lPxx + P, y + Pzz) + W (34) Где A второй коэффициент вязкости В этом случае B = p + n, (33 ) Где A = A ^ q. A. Если = 0, A = p.

• В дальнейшем количество (33 ) для b используется в качестве более общего количества. Из (33 ) значение b, определяемое соотношением (33), берется как частный случай A = . Давление p должно соответствовать определению термодинамического давления по кинетической энергии молекулярного движения, поэтому оно не может быть определено произвольно. Подставляя b из (33 ) в (29), получаем следующее реологическое уравнение для тензороподобной жидкости: 7 = 2c5 + ( p + A0) (29 ) или РХ РХ РХ 1 0 ° exkh exhu exh Лу Лу Лу = ( P + b0) 0 1 0 + 2p euh euu euh). (29 ) p1X PxU Pxx 0 0 1 eru ex1.

Поскольку все тензоры преобразуются из одной системы координат в другую по одним и тем же общим правилам, действительные тензорные уравнения в одной системе координат выполняются не только в декартовых системах координат, но и в криволинейных системах координат. Тензорное уравнение (29 ) эквивалентно компоненту шести уравнений. pxx = —p + X0 + 2 ce; rhu = p, x = 2 мастерская; 3 Ruu = ~ P + b + 2gew; Pyz = Prg = 2peyz;> (35) Prg = > + M) + 2cegg; Pzx = xz = 2pezx, J где е: (36) Шесть скалярных уравнений (35) представляют обобщенные законы жидкостей Ньютона или Навье Стокса.

Это предположение довольно хорошо соответствует действительности для элементарной трубки тока, но его применяют и для труб конечных размеров, используя средние величины по сечениям трубы. Людмила Фирмаль

В некоторых случаях движение несжимаемой жидкости (0 = divu = 0) параллельно оси Ox, а yy = a = 0 и = (рис. 173) для тангенциальной компоненты тензора напряжений из (35), ( 36) с учетом того, Pyz = Pzx = 0 Когда rkh представлен t, закон касательного напряжения выражается в следующем виде. Это закон Ньютона для касательных напряжений в жидкостях. Для некоторых жидкостей линейная зависимость между тензором напряжений и скоростью деформации недостаточна. Такая жидкость называется неньютоновской жидкостью. Обобщенный закон Гука для упругих сплошных сред также получается как линейная зависимость между тензором напряжений P и тензором деформаций S . Рис. 173.

Согласно уравнению (36), характеризует ли вектор смещения d деформацию сплошной среды, используемой только вместо вектора скорости v Обобщенный закон Гука для упругих тензоров и упругих сплошных сред будет подробно рассмотрен в теории упругости и курсе сопротивления материалов с элементами теории упругости. Здесь мы ограничимся простой информацией об обобщенных законах хуков. Для упругих сплошных сред линейное соотношение между тензором напряжений P и тензором деформации S (также симметричным) аналогично (29) и выражается в виде n = 2pS + bI (37) где 6 = 3 (Pxx + Ruu + Pzz) 2 3 3 = дел.

Значение 0 называется расширением относительного объема. Кроме того, предполагается, что среднее арифметическое осевого напряжения линейно зависит от относительного расширения объема. 1z (Pxx + Ruu + Pxx) = ^ (38) С учетом (38) тензорная зависимость (37) принимает вид: n = M l + 2pS . (39) Если (39) выражено в компоненте, получите обобщенный закон ловушек в следующем формате: или PxxPxyPxzX 10 Лу Лу Луг) = X.0 I 0 1 Pzx Pzy Pzz Vo 0 (39 ) pxx = X0 + 2ce ; Lou = Lou = 2 ^ e HuL p = MU + 2re , y; pfI = pzy = 2pe y2;> (40) р r = kv + 2p ; Pzx = Pxz = 2pezx.

Коэффициенты X и , характеризующие упругую сплошную среду, называются параметрами хромоты. Они связаны с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона . c (A + 2c). Я X. + p 2 (1 + n) Если деформация не мала, используется нелинейная связь между компонентами тензора напряжения и деформации.

Смотрите также:

Задачи по теоретической механике

Симметричность тензора напряжений	Модели жидкостей и уравнения движения
Эллипсоид напряжений	Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости