Реферат на тему: Правильные многогранники

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

1. Реферат на тему: Ярослав Мудрый
2. Реферат на тему: Буддизм как мировая религия
3. Реферат на тему: Конный спорт
4. Реферат на тему: Безопасность на дорогах

Введение

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребенка, играющего в деревянные кости, до зрелого математика, который с удовольствием читает книги о многогранниках. Некоторые из реальных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно увидеть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (похожих на пирамиды) вместе с другими видами пластического искусства уходит в глубины веков. Пять правильных тел были изучены Титетом, Платоном, Евклидом, Гипсиклом и Папом.

Поэтому я выбрал слова Л. Кэрролла как надпись для своей работы:

Количество правых многогранников, тем не менее, невелико, но эта очень скромная единица сумела проникнуть в глубины различных наук.

В данной работе я доказал существование только 5 правильных многогранников, выведенных закономерностью числа граней, вершин и ребер правильной многогранности (формула Эйлера), рассмотрел свойства тел Платона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителем Платоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы — «Космическая чаша» Кеплера, и я попытался доказать истинность кеплеровской гипотезы с помощью математических вычислений.

Формула Эйлера

При изучении любого многогранника естественно подсчитать, сколько граней, ребер и вершин у него есть. Мы также посчитаем количество этих элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты.

Давайте спросим себя: «Есть ли закономерность роста чисел в каждом столбце? Очевидно, что нет. Здесь в колонке «Предел» сначала все прошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а затем задуманный образец «провалился» (8 + 2 )  . В столбце «Вершина» даже не наблюдается стабильного увеличения. Количество вершин увеличивается (с 4 до 8, с 6 до 20) или даже уменьшается (с 8 до 6, с 20 до 12). В колонке «Маргины» также нет регулярности.

 Мы сравнили цифры в одном столбце. Но мы можем посмотреть на сумму чисел в двух столбцах, по крайней мере, в столбцах «Лицо» и «Вершина» (D + B).

Теперь ты можешь видеть шаблон.

Скажем так: «Сумма количества граней и вершин равна количеству рёбер, увеличенному на два»: D + B = P + 2.

Таким образом, получается формула, которую уже заметил Декарт в 1640 году, а затем заново открыл Эйлер (1752), чье имя он носит с тех пор. Формула Эйлера применяется ко всем выпуклым многогранникам.

Доказательство существования пяти правильных многогранников

Давайте зададим себе вопрос: сколько правильных многогранников?

Если мы посчитаем ребра на вершине, то получим их: k  B = 2P, потому что каждое ребро опирается на 2 вершины.

В соответствии с условием , т.е. n и k  не может быть больше трех. Например, если n = 4 и k = 4, то оценка   может  также проверить, не удовлетворяют ли остальные значения n и k, капитал 3, равенству (*). Итак, либо k = 3, либо n = 3.

Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательством того, что больше не встречается в истоках Евклида, и автором этого доказательства считается Theetetet. Известно, что Титет был членом Академии в течение нескольких лет и был близок к Платону, и эту близость можно объяснить тем, что Платон в то время был знаком с последними открытиями в области стереометрии.

Платоновые твёрдые вещества

Правильные многогранники называются платоновскими твердыми телами, они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Таким образом, Платон знал пять правильных многогранников, а количество элементов (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Поэтому из пяти многогранников следует выбрать четыре, которые можно сравнить с элементами.

Какие соображения имел в виду Платон? Прежде всего, что некоторые элементы, как он думал, могут сливаться друг с другом. Преобразование одних многогранников в другие может быть осуществлено путем реконструкции их внутренней структуры. Для этого, однако, необходимо было найти в этих органах такие структурные элементы, которые являются общими для них. Из внешнего вида правильного многогранника видно, что границы трех многогранников — тетраэдра, октаэдра, икосаэдра — имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника — куб и додекаэдр — построены: первый — из квадратов, а второй — из правильных пятиугольников, поэтому они не могут быть преобразованы ни друг в друга, ни в три рассматриваемых тела. Это означает, что если мы придадим частицам трех элементов форму тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертого элемента будут считаться кубом или додекаэдром, но этот четвертый элемент не может быть перенесен на три других и всегда остается самим собой. Платон решил, что таким элементом может быть только земля и что мельчайшие частицы, составляющие землю, должны быть кубами. Тетраэдр, октаэдр и икосаэдр сравнивали с огнем, воздухом и водой.

Что касается пятого многогранника, додекаэдра, то он не работает. Что касается его, Платон ограничивается наблюдением в «Таймеа», что «его бог определил вселенную и нарисовал на нем, когда он рисовал и украшал ее».

Возникает вопрос, «какими соображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра, форму куба и т.д.». При этом он учитывал чувственно воспринимаемые свойства соответствующих элементов. Огонь — самый подвижный элемент, он оказывает разрушительное действие, проникает в другие тела (сжигает, плавит или испаряет их); при прикосновение к нему вызывает ощущение боли, как будто мы застряли или порезались.

Какая частица может быть ответственна за все эти свойства и действия? Очевидно, самые подвижные и легкие частицы, но с режущими кромками и углами проникновения. Из четырех многогранников, о которых мы можем говорить, тетраэдр является наиболее удовлетворяющим. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен соответствовать правильному рассуждению и правдоподобию, исходному и огненному семени, наоборот, по нашему опыту, земля кажется самой неподвижной и устойчивой из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь наиболее устойчивую базу. Из всех четырех тел куб имеет это свойство, насколько это возможно. Поэтому мы не будем нарушать правдоподобность, если приписываем земным частицам кубическую форму. Точно так же мы будем соотносить частицы с промежуточными свойствами с двумя другими элементами. Икосаэдр, как наиболее обтекаемый, представляет собой частицу воды, октаэдр — частицу воздуха.

Пятый многогранник — додекаэдр — олицетворял «все», символизировал весь мир и почитался как самый важный.

Мы видим, как принцип правдоподобия Платона сочетается с данными из повседневного опыта. Любопытно, что Платон почти полностью игнорирует другие чисто умозрительные мотивы (например, в связи с теорией пропорций), которые сыграли решающую роль в построении его космологической концепции и которые, возможно, повлияли на некоторые аспекты его теории строения материи.

Правда, сам Тимей, который в данном случае является профессором, читающим лекцию о мировом порядке, по общему мнению, является представителем пифагорейской школы. Однако до сих пор не ясно, существовал ли Тимей как историческая личность или был вымышленным персонажем, придуманным Платоном, чтобы не делать автором космологической и физической теории своего обычного героя — Сократа — автора, потому что он не был бы слишком тесно связан с образом последнего.

Платон «благовидно» систематизировал образ мира. Это была одна из первых попыток внедрения идеи систематизации в науку, которая оказалась очень плодотворной. Это помогло отделить одни области знаний от других и сильнее сфокусировать научные исследования.

Теория Кеплера

А сейчас мы едем из Древней Греции в Европу XYI — XYII веков, где жил и творил замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазёр Иоганн Кеплер (1571-1630).

Кеплер действительно достиг чего-то в науке как астроном, математик и фантазёр. Если бы он не обладал хотя бы одним из этих качеств, он не мог бы достичь таких высот в науке.

На основе синтеза данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона планетарного движения по отношению к Солнцу.

Первый закон: Каждая планета движется по эллипсу, одним из трюков которого является Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, и область орбитального сектора, описываемая радиус-вектором, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: Квадраты времени планетарной циркуляции вокруг солнца обработаны как кубы их среднего расстояния от солнца.

Но это были лишь гипотезы, пока они не были объяснены и разъяснены Исааком Ньютоном (1643-1727), который создал теорию движения небесных тел, доказавшую ее жизнеспособность, помогая людям научиться предсказывать многие небесные явления.

Но давайте представим себя Кеплером. Перед ним различные таблицы и столбцы с цифрами. Это результаты его собственных наблюдений, а также наблюдений его великих предшественников — астрономов. В этом море арифметики человек хочет найти какой-то узор. Что поддерживает его в таком великом начинании? Во-первых, вера в гармонию, уверенность в том, что Вселенная естественным образом упорядочена, а значит, и законы ее структуры. А во-вторых, воображение в сочетании с терпением и честностью. Правда, надо от чего-то отворачиваться! Необходимые законы должны быть сначала придуманы в собственной голове, а затем проверены наблюдением.

Кеплер изначально был соблазнен идеей о том, что в Солнечной системе существует только пять истинных многогранников и только шесть (как казалось в то время) планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Казалось, что гармония мира и любовь природы к повторению образуют правильную многогранность, которая соединяет связи между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет были связаны между собой вписанными в них платоническими телами. Поскольку в каждом правильном многограннике центры вписанных и описанных сфер совпадают, все модели будут иметь единый центр, в котором находится солнце.

Кеплер сделал огромную арифметику, чтобы подтвердить свои предположения. В 1596 году он опубликовал книгу, в которой они были изложены. Согласно этим предположениям, куб может быть введен в сферу орбиты Сатурна, в которую вписывается сфера орбиты Юпитера. Описанный выше тетраэдр, в свою очередь, вписывается в эту сферу. В сферу орбиты Марса входит додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. И это описано в окрестностях икосаэдра, в который вошла сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана рядом с октаэдром, в котором расположена сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы была названа Кеплером «Космическим кубком».

Проблема проверки теории космических аппаратов Платона

Ты можешь проверить космическую теорию Платона для себя. Давайте рассмотрим проблему.

«Средние радиусы орбиты Сатурна и Юпитера равны Rc = 1, 427-109 км и Ryu = 0.788 — 109 км. Определите отношение радиусов орбиты этих планет и сравните найденное отношение с отношением описанных радиусов вблизи куба и вложенных в него сфер».

Согласно гипотезе Кеплера, соотношение должно быть одинаковым. Итак, судя по нашим наблюдениям.

Гипотеза заключается в том, что куб вписан в сферу орбиты Сатурна, край которой равен a. Тогда радиус вписанной окружности равен половине диагонали вписанного куба, т.е.   даже в этом случае  . Сфера (орбита Юпитера) вписана в этот куб. Обозначим его радиус в r. Она равна половине края куба.

Как видим, разница между теоретическим соотношением R : r и наблюдаемым соотношением Rc : Ry не так велика, менее 0.1, и кажется приемлемой на космическом уровне. Эти «почти совпадения» заставили Кеплера долгое время придерживаться теории Платона, так как в наблюдениях легко было заподозрить ошибку.

Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но в конце концов нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Его следы, однако, можно увидеть в третьем законе Кеплера, который относится к кубам среднего расстояния от солнца.

Как они могут появиться в сознании человека, если он не говорит об объеме пространственных тел? На самом деле, как известно, объем выражается кубами линейных размеров. Но это также и гипотеза, гипотеза о том, как были найдены законы Кеплера. Мы не можем их проверить, но знаем одно наверняка: без гипотез, иногда самых неожиданных, кажущихся бредовыми, не может быть никакой науки.

Гипотезы о современном мировом порядке

Таким образом, Платон, Кеплер, Пифагор связывали правые многоугольники с гармонической структурой мира. А знаете ли вы современные гипотезы о мировом порядке?

Идеи Пифагора, Платона и Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоническим строением мира и нашли сегодня свое продолжение в интересной научной гипотезе, сформулированной московскими инженерами В. Макаровым и В. Морозовым в начале 1980-х годов.

Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, который влияет на развитие всех природных процессов на планете. Лучи этого кристалла, точнее, его силовое поле, определяют структуру икосаэдра-декаэдра Земли. Это проявляется в том, что земная кора, как будто проекции правильной многогранности, вписаны в земной шар: икосаэдр и додекаэдр. Многие месторождения полезных ископаемых простираются вдоль сети икосаэдров-декаэдров; 62 вершины и срединные ребра многогранников, называемые авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Вот стада древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, культура Обь и другие. В этих точках находятся максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские вихри мирового океана. На этих перекрестках лежит озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшее изучение Земли могло бы определить отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, важное место занимает правильная многогранность.

Соединение многогранника с дикими животными

Когда речь идет о структуре мира, нельзя игнорировать живую природу. Правильная ли многогранность в животном мире?

Правильную многогранность можно найти и в животном мире. Например, скелет одноклеточного организма Феодрии (икосаэдра Circogonia) имеет форму икосаэдра. Большинство феодальных лагун живут в глубоком море и служат добычей для коралловых рыб. Но самое простое животное пытается защитить себя: из 12 кончиков скелета выходят 12 полых игл. На концах игл есть зубы, что делает иглу еще более эффективной защитой.

В чем причина такой естественной геометрии феодалов? Очевидно, что из всех многогранников с одинаковым количеством граней икосаэдр имеет наибольший объем с наименьшей поверхностью. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водяного столба.

Интересно, что икосаэдр находился в центре дискуссий биологов о форме некоторых вирусов. Вирус уже не может быть таким круглым, как когда-то думали. Для определения его формы были взяты различные многогранники, на которые свет был направлен под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дал точно такую же тень — икосаэдр.

Правая многогранника — самые выгодные цифры. И природа часто ими пользуется. Это подтверждается формой некоторых кристаллов. По крайней мере, возьмите столовую соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что он хорошо растворяется в воде и служит проводником электрического тока. А кристаллы обычной соли (NaCl) имеют форму куба.

В производстве алюминия используется алюминиево-калиевый алюминий (K[Al(SO4)2]-12H2O), монокристалл которого имеет форму правильного октаэдра

Производство серной кислоты, железа, специальных цементов не лишено серной породы (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

Сурьма серная кислота натрия (Na5(SbO4(SO4)) используется в различных химических реакциях — вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмы-серной кислоты-натрия имеет форму тетраэдра.

Последний истинный многогранник, икосаэдр, переносит форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для производства полупроводников первого поколения.

Таким образом, благодаря правильной многогранности, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и способы познания природной гармонии.

Заключение

В процессе работы над докладом я изучал правильные многогранники, рассматривал их модели, определял и систематизировал свойства каждого многогранника. Кроме того, я узнал, что правильная многогранность с древности привлекала внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Они были поражены красотой, совершенством и гармонией этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских работах о природе мира. Древнегреческий ученый Платон подробно описал свойства правильной многогранности. Последняя XIII книга знаменитого «Начала» Евклида посвящена правильному многограннику. Многогранники упоминались и в более поздние времена. Это видно из научных работ Иоганна Кеплера.

Я решил прочитать лекцию и применить полученные знания на уроках математики и информатики. Я хотел сделать презентацию, чтобы ее можно было использовать на уроках геометрии. Нет смысла воспроизводить весь материал аннотации на слайдах, поэтому я решил использовать слайды для наиболее важной части презентации. Для большей ясности я использовал рисунки, фотографии, таблицы.

Я выполнял свою работу двумя способами: печатным и электронным. Презентацию «Правая многогранность» можно показать с помощью мультимедийной инсталляции.

В дополнение к специальной литературе я использовал функции INTERNET.

Презентация была создана с помощью Microsoft Power Point и содержит 23 слайда.

Список литературы

1. Первый учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и другие. Геометрия, 10-11 классы.
2. Справочник по доступу в университет А.Д. Кутасова, Т.С. Пиголкиной и др. М., «Наука», 1985.
3. Вычислительная техника: лабораторный семинар. Создание текстовых документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000 / В.Н. Голубцов, А.К. Козырев и др., Саратов: Лицей, 2003.
4. Сборник конкурсных задач по математике для студентов первых курсов высших учебных заведений под редакцией М.И. Сканавы, Санкт-Петербург, 1994.