Реферат на тему: Логарифмы

Оглавление:

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Десятичный логарифм называется логарифмом на основе 10. Он обозначен lg, т.е. журнал 10 N = lg N . Логариты чисел 10, 100, 1000,… соответственно равны 1, 2, 3, … т.е. имеют столько же положительных единиц, сколько и нулей после единиц нулей в логарифмическом числе.

Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001,… соответственно равны -1, -2, -3, …, т.е. имеют столько же отрицательных единиц, сколько и нулей в логарифмическом числе перед единицей (счет и ноль целых чисел). Логариты других чисел имеют дробную часть, называемую мантисса. Вся часть логарифма называется мантисса. Десятичные логарифмы наиболее удобны для практического использования.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм называется логарифмом на основе e. Оно обозначается ln, т.е. log e N = ln N. Число e иррационально, его приблизительное значение 2.718281828. Это предел, до которого число ( 1 + 1 / n ) n стремится к неограниченным шагам n (см. так называемый второй примечательный предел в разделе «Пределы»). Как ни странно, естественные логарифмы оказались очень полезны для различных операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов на основе e происходит намного быстрее, чем на любой другой основе.

LOGARIFM, число, применение которого упрощает многие сложные арифметические операции. Использование его логарифмов вместо чисел в вычислениях позволяет заменить умножение на более простую операцию сложения, деление на вычитание, увеличение на умножение, извлечение корня на деление.

Общее описание. Логарифм заданного числа — это индикатор того, в какой степени для получения заданного числа необходимо поднять другое число, называемое основой логарифма. Например, логарифм числа 100 основан на 10 2. Другими словами, 10 должно быть поднято в квадрате, чтобы получить число 100 (102 = 100). Если n — заданное число, b — база и l — логарифм, то bl = n. Число n также называется антилогарифмом к основанию b числа l. Например, антилогарифм 2 на основе 10 равен 100, который можно записать как отношение logb n = l и антилогаб l = n.

Любое положительное число, кроме одного, может служить основой логарифмов, но, к сожалению, получается, что если b и n — рациональные числа, то в редких случаях такое рациональное число l существует, что bl = n. Однако, иррациональное число l может быть определено, например, так, что 10l = 2; это иррациональное число l может быть аппроксимировано рациональными числами с любой желаемой точностью.

Получается, что в данном примере l примерно равно 0.3010, и это приблизительное значение логарифма на основе 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах с десятичными логарифмами. Логарифмы, основанные на 10 (или десятичных логарифмах), так часто используются в вычислениях, что называют обычные логарифмы и отмечают их как log2 = 0.3010 или lg2 = 0.3010, без явного указания базы логарифмов. Логариты, основанные на e, трансцендентальном числе, соответствующем приблизительно 2.71828, называются натуральными логаритами. В основном они встречаются в работах по математическому анализу и его применению в различных науках. Естественные логарифмы также записываются без явного указания базы, но со специальным обозначением ln: например, ln2 = 0.6931, как, например, 0.6931 = 2. См. такжеNUMBERe.

Использование таблиц с общими логарифмами

Обычный логарифм числа — это мера степени, до которой 10 должно быть возведено, чтобы получить определенное число. Так как 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, то мы сразу получаем этот log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.д. за рост целых 10 градусов. Аналогично, 10-1 = 0.1, 10-2 = 0.01 и, следовательно, log0.1 = -1, log0.01 = -2 и т.д. для всех отрицательных целых градусов 10. Обычные логарифмы остальных чисел закрываются между логарифмами ближайших целых градусов числа 10; log2 должен быть закрыт между 0 и 1, log20 между 1 и 2 и log0.2 между -1 и 0. Таким образом, логарифм состоит из двух частей, целое число и десятичная дробь, закрытая между 0 и 1. Целая часть называется характеристикой логарифма и определяется самим числом, дробная часть называется мантиссой и может быть найдена в таблицах. Дополнительно: log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Таким образом, логарифм числа 2 равен 0.3010.

log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. Аналогично log0.2 = log(2yo10) = log2 — log10 = (log2) — 1 = 0.3010 — 1. После вычитания получаем log0.2 = — 0.6990.

Однако более удобно представлять log0.2 как 0.3010 — 1 или как 9.3010 — 10; можно также сформулировать общее правило: все числа, полученные из заданного числа путем умножения со степенью числа 10, имеют одинаковые мантиссы, соответствующие мантиссе заданного числа. Большинство таблиц содержат мантиссы чисел в диапазоне от 1 до 10, так как все остальные числа могут быть взяты из мантисс, приведенных в таблице.

В большинстве таблиц используются логарифмы с четырьмя или пятью знаками после запятой, хотя существуют также семизначные таблицы и таблицы с еще большим количеством символов. Самый простой способ научиться пользоваться такими таблицами — это использовать примеры. Чтобы найти log3.59, сначала обратите внимание, что число 3.59 заключено между 100 и 101, поэтому его характеристика равна 0. В таблице (слева) мы находим число 35 и двигаемся вдоль строки к столбцу, в котором сверху стоит число 9; на пересечении этого столбца и строки 35 находится число 5551, поэтому log3.59 = 0.5551. Чтобы найти мантиссу числа с четырьмя значащими цифрами, нужно использовать интерполяцию. В некоторых таблицах интерполяцию облегчают пропорциональные пропорции, приведенные в последних девяти столбцах справа от каждой страницы таблицы. Теперь найдем log736.4, номер 736.4 между 102 и 103, так что характеристика его логарифма — 2. В таблице мы находим строку слева от нее 73 и столбец 6. На пересечении этой строки и этого столбца — номер 8669. Среди линейных частей мы находим столбец 4. На пересечении 73-й строки и столбца 4 — номер 2. Прибавив 2 к 8669, мы получаем мантиссу — она равна 8671, поэтому log736.4 = 2.8671.

Натуральные логарифмы

Таблицы и свойства природных логарифмов схожи с таблицами и свойствами обычных логарифмов. Основное различие между ними и другими заключается в том, что целочисленная часть натурального логарифма не значима при определении положения десятичной точки, и поэтому разница между мантиссой и признаком не важна. Натуральные логарифмы чисел 5.432; 54.32 и 543.2 равны 1.6923; 3.9949 и 6.2975. Связь между этими логарифмами становится очевидной при рассмотрении различий между ними: log543.2 — log54.32 = 6.2975 — 3.9949 = 2.3026; последнее число является ничем иным, как естественным логарифмом числа 10 (написано следующим образом: ln10); log543.2 — log5.432 = 4.6052; последнее число — 2ln10. Но 543.2 = 10ґ54.32 = 102ґ5.432. Так можно найти на натуральном логарифме данного числа натуральные логарифмы чисел, соответствующие произведениям числа a на любой градус n числа 10 путем сложения lna ln10 умноженного на n, т.е. ln(aґ10n) = lna + nln10 = lna + 2.3026n. Например: ln0.005432 = ln(5.432ґ10-3) = ln5.432 — 3ln10 = 1.6923 — (3ґ2.3026) = — 5.2155. Поэтому таблицы натуральных логарифмов, как и таблицы обычных логарифмов, обычно содержат только логарифмы чисел от 1 до 10. В системе натуральных логарифмов можно говорить об антилогарифмах, но чаще всего мы говорим об экспоненциальной функции или экспоненте. Если x = lny, то y = ex, а y называется показателем x (для упрощения шрифтового шрифта часто пишется y = exp x). Экспонент играет роль антилогарифма числа x.

Заключение

Используя таблицы с десятичными и натуральными логарифмами, можно создавать таблицы с логарифмами на основе, отличной от 10 и e. Если logb a = x, то bx = a, а значит logc bx = logc a или xlogc b = logc a или x = logc a/logc b = logb a. Следовательно, эту формулу можно использовать для построения логарифмических таблиц из таблицы логарифмов для базы c для любой другой базы b. Множитель 1/logc b называется модулем для получения из базы c в базу b. Ничто не мешает, например, использовать формулу для обработки или перехода от одной системы логарифмов к другой, найти естественные логарифмы из таблицы общих логарифмов или осуществить обратный переход. Например: log105,432 = логе 5,432/логе 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на которое необходимо умножить натуральный логарифм данного числа, чтобы получить обычный логарифм, является модулем перехода к системе обычных логарифмов.

Список литературы

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. — М.: Аванта+, 1993;
Логарифмы шахматиста А.Х. — 2-е издание, исправлено и дополнено — Санкт-Петербург: «Черо-Нева», 2004;
Лиман М.М. Школьников по математике и математикам — М.Е.: Просвещение, 1983;
Алимов С.А.Алгебра и начало анализа — М.Е.: Просвещение, 1993;
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ — М.Мнемозина, 2006;
Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий» — Кирилл и Мефодий, 2005.