Реферат на тему: Комплексные числа

Оглавление:

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Решение многих физических и технических задач приводит к квадратичным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области вещественных чисел. Но решение многих таких проблем имеет очень специфический физический смысл. Значение значений, полученных в результате решения этих уравнений, называлось комплексными числами. Сложные числа часто использовались отцом русской авиации Н. Е. Жуковским (1847 — 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции из комплексной переменной используются во многих вопросах науки и техники.

Целью данной работы является ознакомление с историей возникновения комплексных чисел, их свойствами, влиянием на них, а также с решением уравнений с комплексными переменными.

История комплексных чисел

Древнегреческие математики считали «реальными» только натуральные числа. Постепенно возникла идея бесконечности многих натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначений вплоть до системы такого размера, как . Кроме натуральных чисел использовались также дроби — числа, состоящие из целого числа частей единицы. Дроби использовались в практических расчетах за две тысячи лет до Христа в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Долгое время считалось, что результат измерения всегда выражается либо в виде натурального числа, либо в виде соотношения таких чисел, т.е. в виде дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «…элементы чисел — это элементы всего сущего, а весь мир в человеке — это гармония и число». Самым сильным ударом по этой точке зрения стало открытие, сделанное одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Из этого следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для выражения длины диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что с этого открытия начинается эпоха теоретической математики: невозможно было обнаружить существование несоизмеримых количеств через опыт, не прибегая к абстрактной аргументации.

Следующим важным шагом в развитии понятия числа стало введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два столетия до нашей эры. Отрицательные числа использовались в III веке древнегреческим математиком Диофантом, который уже знал о правилах действия с ними, а в VII веке отрицательные числа использовались для описания изменения стоимости таким образом, что раньше это было невозможно. Уже в VIII веке было обнаружено, что квадратный корень положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, и из отрицательных чисел квадратный корень не может быть извлечен: Нет такого числа, которое .

На пути к комплексным числам

В XVI веке изучение кубических уравнений сделало необходимым извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула прекрасно работает, если уравнение имеет один действительный корень (x=1), и если оно имеет три действительных корня (x1=1 x2.3 =), то под знаком квадратного корня находится отрицательное число. Оказалось, что путь к этим корням лежит через невозможную операцию по извлечению квадратного корня отрицательного числа. После решения уравнений 4-й степени математики интенсивно искали формулу для решения уравнения 5-й степени, но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение 5-й степени не может быть решено алгебраически; точнее: невозможно выразить его корень буквенными значениями a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, выпрямление до степени, извлечение корня).

В 1830 г. Галуа (Франция) доказал, что ни одно общее уравнение со степенью больше 4 не может быть решено алгебраически. Однако каждое уравнение n-й степени имеет (при рассмотрении комплексных чисел) n корней (между которыми могут быть равны). В этом математики убедились уже в XVII веке (на основе анализа многочисленных отдельных случаев), но только на рубеже XVIII и XIX веков была доказана вышеупомянутая теорема Гаусса.

Итальянский алгебрайст Г. Кардано предложил ввести цифры нового характера в 1545 году. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений в наборе вещественных чисел, имеет решения такого рода, что нужно только согласиться действовать по таким выражениям согласно правилам обычной алгебры и считать, что .

Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие ценности «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался ими не пользоваться. Фактически, такие числа не могут быть использованы для выражения ни результата измерения определенной величины, ни изменения определенной величины. Но в 1572 году вышла в свет книга итальянского алгебрая Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических действий с такими числами вплоть до извлечения из них кубических корней. Французский математик и философ Р. Бомбелли ввел название «воображаемые числа» в 1637 году. Декарта, а в 1777 году одного из величайших математиков XVIII века. век — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (воображаемый) для обозначения числа (воображаемая единица). Этот символ появился в обиходе благодаря К. Гауссу. Термин «комплексные числа» был также введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает соединение, сочетание, набор терминов, объектов, явлений и др. Они образуют единое целое.

В XVII веке продолжилась дискуссия об арифметической природе мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Техника операций с воображаемыми числами развивалась постепенно. На рубеже XVII. и XVIII. На рубеже XVII и XVIII веков на основе следующей формулы английского математика А. Муавра (1707 г.) была создана общая теория корней n-й степени, сначала отрицательных, а затем любых комплексных чисел. (подробности см. в приложении). С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинуса и синуса множественных дуг. В 1748 г. Л. Эйлер вывел замечательную формулу, сочетающую образцовую функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было увеличить число e до любой сложности. Странно, например, что… Из комплексных чисел можно было найти грех и кос, вычислить логарифмы таких чисел, т.е. построить теорию функций комплексной переменной.

В конце XVIII. век французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ больше не усложняется воображаемыми значениями. С помощью мнимых чисел они научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории материальных точечных колебаний в резистивной среде. Еще раньше швейцарский математик Ж. Бернулли использовал комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в XVIII веке многие проблемы решались с использованием комплексных чисел, в том числе прикладные проблемы картографии, гидродинамики и т.д., до сих пор не было строгого логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — лишь руководство, которое берет на себя природу реальных истин только после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто не сомневается в точности результатов, полученных в вычислениях с мнимыми величинами, хотя это всего лишь алгебраические формы иероглифов нелепых размеров» Л. Карно.

После появления теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел — чисел с несколькими «воображаемыми» единицами. Такая система типов, где, построенная в 1843 году, ирландским математиком У. Гамильтоном, который назвал их «кватернионами». Правила действия на кватернионах схожи с правилами обычной алгебры, но их умножение не обладает свойством коммутируемости (транспортабельности): например, a . Гиперсложные числа не являются предметом моей работы, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.

Российские и советские ученые Н.И. Мусхелишвили внесли большой вклад в развитие теории функций сложных переменных, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — по аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Мусхелишвили — по аэродинамике и гидродинамике, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — по аэродинамике и гидродинамике. Богомолов и В. А. Богомолов — об их применении к эластичности. С. Владимиров — о проблемах квантовой теории поля.

Комплексные номера и их свойства

В связи с развитием алгебры необходимо было ввести новые числа нового вида, выходящие за рамки известных до сих пор положительных и отрицательных чисел. Их называют комплексными числами. Комплексное число имеет форму a + bi; здесь a и b — действительные числа, а i — число нового вида, которое называется воображаемой единицей. «Воображаемые» числа — это частный тип комплексного числа (когда a = 0). С другой стороны, вещественные числа также являются частным типом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a называется абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b является ординатой комплексного числа

Плюс два. Основным свойством числа i*i является то, что произведение i*i равно -1, т.е. i2= -1. (1).

Долгое время не удавалось найти таких физических величин, при помощи которых можно было бы выполнять как действия, подчиненные одним и тем же правилам, так и действия, использующие комплексные числа — особенно правило (1). Отсюда и названия: «воображаемая единица», «воображаемое число» и т.д. В то же время ряд таких физических величин известен, а комплексные числа широко используются не только в математике, но и в физике и технике.

Правило любого действия над комплексными числами вытекает из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не придумываются произвольно, а фиксируются таким образом, чтобы они соответствовали правилам действий над вещественными числами. Комплексные числа должны рассматриваться не изолированно от реальных чисел, а вместе с ними.

Фактическое число a также записывается как + 0i (или a — 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i означает то же самое, что и запись 3, а запись -2 + 0i означает -2.

Комплексное число видов 0 + би называется «чисто воображаемым». Запись би означает то же самое, что и 0 + би. Два комплекса a + bi, a’ + b’i считаются равными, если они имеют соответственно одну и ту же абсциссу и ординату, т.е. если a = a’, b = b’. В противном случае, комплексные числа не равны. Это определение основано на следующем соображении. Например, если бы такое равенство существовало: 2 + 5i = 8 + 2i, тогда по правилам алгебры мы бы имели i = 2, в то время как я не должен быть действительным числом.

Геометрическое представление комплексных чисел

Фактические числа могут быть представлены точками на прямой, где точка K представляет собой число 5. Это число может быть также представлено отрезком «ОК» с учетом не только его длины, но и направления.

Каждая точка C «числовой линии» представляет собой вещественное число (рациональное, если отрезок операционной системы соответствует единице длины, и иррациональное, если нет). Поэтому на «числовой линии» больше нет места для комплексных чисел.

Однако, комплексные числа могут отображаться на «числовой линии». Для этого выбираем прямоугольную систему координат на плоскости с одинаковым масштабом по обеим осям. Комплексное число a + bi представляем в виде точки M, где абсцисса x равна абсциссе комплексного числа, а ордината комплексного числа равна ординате b.

Примеры. Точка А с абсциссой x=3 и ординатой y=5 представляет собой комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) представляет собой комплексное число -4 — 5i.

Вещественные числа (в сложном виде они имеют форму a + 0i) представляют собой точки оси ОХ, а чисто воображаемые — точки оси ОХ.

Примеры. Точка K представляет собой вещественное число 5, точка L — чисто воображаемое число 3i. Начало координат представляет собой число 0.

Сопряженные числа представлены парой точек, симметричных оси абсциссы, при этом точки A и A’ на рис. 2 представляют собой сопряженные числа 3 +5i и 3 -5i.

Сложные отрезки можно также представить в виде отрезков, начинающихся в точке O и заканчивающихся в соответствующей точке на числовой плоскости. Таким образом, комплексное число a + bi может быть представлено не только точкой M (рис. 1), но и вектором ОМ.

Комментарий. Назвав отрезок «вектором», мы подчеркиваем, что важна не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел позволила определить многие понятия, связанные с функцией комплексных переменных и расширила область их применения.

Стало понятно, что комплексные числа полезны во многих областях, где они имеют дело со значениями, представленными векторами на плоскости: в изучении потока текучей среды, задачах теории упругости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + bi выражаются модулем r и аргументом q.

Формулы:

a = r cos q , r=a/cos q
b = r грех q , r =b/sin q

r — длина вектора (a+bi) , q — угол, который он образует с положительным направлением оси абсциссы (см. рис. 1).

Поэтому любое комплексное число может быть представлено как r(cos q + i sin q), где r > 0, т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, если говорить кратко, тригонометрической формой комплексного числа.

Действия с комплексными числами

Определение: Сумма комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называются комплексными числами (a + a’) + (b + b’i).

Это определение предлагается правилами действий с использованием обычных полиномов.

Пример 1 (-3 + 5i) + (4 — 8i) = 1 — 3i.

Пример 2 (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же самое, что и 2 и так далее, то выполненное действие соответствует нормальной арифметике (2 + 7 = 9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т.е. 2i + 5i = 7i.

Пример 4 (-2 + 3i) + ( — 2 — 3i) = — 4.

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна вещественному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна вещественному числу.

Для комплексных чисел законы смещения и комбинации подходят для добавления. Их справедливость обусловлена тем, что комплексные числа состоят в основном из сложения вещественных частей и коэффициентов мнимых частей, и они являются вещественными числами, для которых эти законы справедливы.

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разница между комплексными числами a + bi (убывание) и a’ + b’i (вычитание) называется комплексным числом (a — a’) + (b — b’i).

Пример 1. (-5 + 2i) — (3 — 5i) = -8 + 7i.

Пример 2 (3 + 2i) — (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

Умножение комплексных чисел

Определение. Генерация комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексным числом. (aa’ — bb’) + (ab’ + ba’)i.

Комментарий. На практике нет необходимости использовать формулу работы. Вы можете умножать эти числа как двоичные члены, а затем устанавливать i2 = -1.

Пример 1 (1 — 2i)(3 + 2i) = 3 — 6i + 2i — 4i 2 = 3 — 6i + 2i + 4 = 7 — 4i.

Пример 2 (a + bi)(a — bi) = a2 + b 2.

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел является действительным, а также положительным числом.

Для умножения комплексных чисел пригодны также законы смещений и комбинаций, а также закон распределения для умножения по отношению к сложению.

Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления фактических цифр устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i — значит найти такое число x + yi, которое, умноженное на делитель, дает делитель.

Определенное правило деления получается путем записи частной дроби и умножения числителя и знаменателя этой дроби на число, связанное с знаменателем: (a + bi): (c + di).

Пример 1. найти личное (7 — 4i):(3 + 2i).

Отметив дробь (7 — 4i)/(3 + 2i), расширяем ее на число 3 — 2i, которое связано с 3 + 2i. Давай возьмем его: ((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i))) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 1 предыдущего пункта указывает на испытание.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i) ( -3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0.56 — 0.92i.

Чтобы доказать, что правая сторона действительно личная, просто умножьте ее на a’ + b’. Мы получаем + би.

Решение уравнений с комплексными переменными

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a — заданное число, z — неизвестно.

На наборе реальных чисел, это уравнение:

имеет корень z = 0, если a = 0.
имеет два фактических корня z1,2 = , если a>0;
не имеет действительных корней, если a< 0.

Для многих комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

В общем случае применяется уравнение z2 = a, где a < 0 имеет два сложных корня: Z1.2 = i.

При равенстве i2 = -1 квадратные корни отрицательных чисел записываются следующим образом: = i, = 2i, = i .

Заключение

Сложные числа используются очень часто, несмотря на их «фальшь» и недействительность. Они играют важную роль не только в математике, но и в таких науках, как физика и химия. В настоящее время комплексные номера активно используются в электромеханике, компьютерной и космической промышленности.

Поэтому нам необходимо расширить наши знания о комплексных числах, их свойствах и характеристиках. Основные элементы доктрины комплексных чисел рассматриваются мною в этом эссе.

Список литературы

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Учебник для 8 класса по алгебре — М.: Просвещение, 1996.
И.С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах — М.: Просвещение, 1985 — с.50-52.
А.П. Савин. Энциклопедическая энциклопедия молодого математика. -М.: Педагогика, 1983 г. -С. Петраков. 143-147.