Оглавление:
Задача разложения вектора по заданным направлениям возможна и имеет единственное решение для векторов на плоскости и для векторов в пространстве.
Векторы на плоскости
Два неколлинеарных упорядоченных вектора на плоскости образуют базис. Они линейно независимы, то есть ни один из них не может быть выражен через другой вектор. Любой третий вектор на плоскости единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.
Частным случаем базиса на плоскости является пара векторов единичной длины, перпендикулярных друг другу. Они называются ортами и обозначаются 
и 
. Совокупность указанного базиса и выбранной точки 
, из которой выходят орты — основа прямоугольных декартовых координат с осями 
(ось абсцисс), 
(ось ординат).
Совместим начало некоторого произвольного вектора 
с точкой (рисунок 2.4). Из конца вектора проведем линии, параллельные направлениям векторов и . В точках пересечения этих линий с осями , укажем концы вспомогательных векторов 
, 
. Вектор — сумма вспомогательных векторов, так как он является диагональю параллелограмма:
(рисунок 2.4). Векторы , — коллинеарные, следовательно, существует единственное число 
, такое, что 
. Аналогично, векторы 
, — коллинеарные, следовательно, существует единственное число 
, такое, что 
. Из равенства получим разложение вектора по базису и :
Числа , называются координатами вектора в базисе и .
Векторы в пространстве
Базисом в пространстве называются три любых некомпланарных вектора 
, взятых в определённом порядке.
Любой четвертый вектор 
можно представить единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса
где 
называются координатами вектора в базисе .
Вектор базиса нельзя выразить через другие векторы базиса в виде линейной их комбинации. Говорят, что векторы линейно независимы. Добавление любого четвёртого вектора к базисным приводит к выполнению равенства (2.1); говорят, что система векторов , линейно зависима.
Частным случаем базиса в пространстве является тройка ортов 
— векторов единичной длины, взаимно перпендикулярных друг другу. Совокупность указанного базиса и выбранной точки , из которой выходят орты — основа прямоугольных декартовых координат с осями (ось абсцисс), (ось ординат), 
(ось аппликат), (см. рисунок 2.5).
Каждый вектор можно спроектировать на оси координат. Разложение вектора по базису имеет вид: 
. Здесь , , 
— проекции вектора на соответствующие оси координат (координаты вектора).
Вывод — геометрический вектор на плоскости определяется однозначно двумя числами , , вектор в пространстве определяется тремя числами , , .
Если вектор задаётся двумя точками 
, то координаты вектора 
определяются разностями координат конечной и начальной точек: 
.
Длина вектора обозначается 
и вычисляется по формуле
Если вектор задан своими координатами, то при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число:
При сложении двух векторов складываются их координаты:
Из свойства 2 операции умножения вектора на число и из формулы (2.3) следует условие коллинеарности векторов. Два вектора и 
коллинеарные, если пропорциональны их координаты:
Пример:
Вектор задан точкой начала 
и точкой конца 
в декартовой системе координат. Определить координаты вектора и его длину.
Решение:
Координаты вектора определяем разностями координат конечной и начальной точек: , а именно:
Длину вектора определяем по формуле (2.2):
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
